Геометрични задачи ТУ-София

[nutb0ll]

Не остана остана до изпита, ще се възползвам още малко от помощта ви, за която разбира се благодаря

27.jpg (25.86 KiB) Прегледано 478 пъти

отг: 2

29.jpg (27.9 KiB) Прегледано 478 пъти

отг: [tex]\frac{3}{2cos\frac{\alpha}{2}}[/tex]

[Davids]

27.

triugulnik.png (20.85 KiB) Прегледано 475 пъти

Първо от дадената средна отсечка веднага извеждаме първата зависимост между двете основи: $a + b = 8$
Дадените ъгли при основата ни подсказват, че ако построим $CC_1 || AD$, то ще получим правоъгълен $\Delta C_1BC$ с прав ъгъл при върха $С$ и хипотенуза $BC_1 = a - b$

Имаме $ММ_1 = 2$, построяваме $CC_2||MM_1 = 2$ и получаваме отсечката $BC_2 = BM_2 - C_2M_2 = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a - b}{2}$, което неминуемо означава, че точката $C_2$ е среда на $BC_1$. Тоест, $CC_2 = 2$ е медиана в правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза ще е два пъти колкото тази медиана. И така $BC_1 = a - b = 4$

Комбинирано с първата зависимост между основите, която изведохме в началото, това ни дава $a = 6$ и $b = 2$

29. Първото нещо, което трябва да ти направи впечатление, е, че всички околни ръбове сключват с равнината на основата равни ъгли, което веднага еднозначно означава, че проекцията на върха на пирамидата ще лежи върху центъра на описаната окръжност (защо, ще поразсъждаваш сам ). А дадената големина на този ъгъл от 45 градуса подсказва, че катетите на правоъгълния триъгълник, образуван от околен ръб, радиус на описаната около основата окръжност и височината на пирамидата, ще са равни, т.е. $H = R$ и така на практика височината на пирамидата ни се явява равна на радиуса на описаната около основата окръжност. Търсим него по синусова теорема за бедрото:
$\frac{3}{sin(\frac{180 - \alpha}{2})} = 2R \Rightarrow R = \frac{3}{2sin(90 - \frac{\alpha}{2})} = \frac{3}{2cos\frac{\alpha}{2}}$

П.П. Айде, със здраве да си ги разбираш и успех на изпита. Дано сме ти били полезни и остане нещо и след получената оценка