Параметрично неравенство

[S.B.]

Да се реши неравенството:
[tex]log_{p }[/tex](2.[tex]3^{x}[/tex] + 1) - [tex]log_{\frac{1}{p} }[/tex]10 [tex]\le[/tex] [tex]log_{p }[/tex]([tex]9^{х}[/tex] + 14) - [tex]log_{\frac{1}{p} }[/tex]2
за всяка допустима стойност на реалния параметър "p''.

[Knowledge Greedy]

След смяна на основата [tex]log_{\frac{1}{p}}10=-log_p10[/tex]
и [tex]log_{\frac{1}{p}}10=-log_p2[/tex], неравенството става равносилно на
[tex]log_p(20.3^x+10)\le log_p(2.3^{2x}+28)[/tex]

I. Когато [tex]0< p <1[/tex], антилогаритмуването дава [tex]10.3^x+5 \ge 9^x+14[/tex]
решавайки съответното квадратно неравенство - от
[tex]\left ( 3^x \right )^2-10.3^x+9\le9[/tex]
получаваме
[tex]1\le 3^x\le 9[/tex]
и
[tex]0\le x\le2[/tex]

II. Когато [tex]p>1[/tex], антилогаритмуването дава [tex]10.3^x+5 \le 9^x+14[/tex]
квадратното неравенство, което произлиза от
[tex]\left ( 3^x \right )^2-10.3^x+9\ge9[/tex]
дава
[tex]\left\{\begin{matrix}
3^x\le 1\\
3^x\ge 9
\end{matrix}\right.[/tex]
Следователно [tex]x\in (-\infty;0]\cup [2; +\infty)[/tex].