Функция с параметър

[S.B.]

Нека f(x) = [tex]\frac{x^{2} + \alpha + 5}{\sqrt{1 + x^{2}}}[/tex] , където [tex]\alpha[/tex] е реален параметър.
а) Да се намерят всички стойности на [tex]\alpha[/tex] ,за които f(x) има три локални екстремума;
б) Да се докаже,че ако I[tex]\alpha[/tex]I [tex]\ge[/tex] 2,то f(x) има единствен локален екстермум за [tex]x_{1 }[/tex],който е минимум и [tex]x_{1 }[/tex] [tex]\notin[/tex] [-1,1]

[Nathi123]

[tex]f(x) = \frac{x^{2}+ax+5}{\sqrt{1+x^{2}}}[/tex], иначе б) усл. няма как да е изпълнено! ( зад 1109 от сборник Конкурсни задачи за постъпване във ВУЗ - Паскалев Г.)

[S.B.]

[tex]f(x) = \frac{x^{2}+ax+5}{\sqrt{1+x^{2}}}[/tex], иначе б) усл. няма как да е изпълнено! ( зад 1109 от сборник Конкурсни задачи за постъпване във ВУЗ - Паскалев Г.)

Благодря на Nathi123 и на колегите,които са оценили мнението.Задачата е от сборник "30 кандидатстудентски теми по математаика" на Добромир Тодоров и Кирил Николов,рецензент проф.И.Райчинов ,2001 г. УНСС - Университетска печатница."Пуснах" я защото подусловие б) ме затрудни,въпреки,че има решение,което ще цитирам дословно;Означават f'(х) = g(x) = [tex]x^{3}[/tex] - 3x + [tex]\alpha[/tex] и като имат предвид отговора от а) който е I[tex]\alpha[/tex]I < 2,казват:
"Ако I[tex]\alpha[/tex]I [tex]\ge[/tex]2,то от а) следва,че графиката на g(x) ще пресече Ох един път (може и да се допре до нея).Двата локални екстремума на g(x) са [tex]\ge[/tex]0 или [tex]\le[/tex]0 Нека графиката на g(x) пресича Ох в т. [tex]x_{1 }[/tex].Тъй като производната сменя в [tex]x_{1 }[/tex] знака си от " - " към " + " ,то в т.[tex]x_{1 }[/tex] f(x) има локален минимум.Ако [tex]x_{1 }[/tex] [tex]\in[/tex][-1,1], то ще има още една точка от [-1,1] в която графиката на g(x) пресича Ох,тъй като двата локални екстремума в -1 и +1 имат един и същи знак,което е невъзможно"

[a.n.l.]

a) Производната е [tex]f'(x) = \frac{x^3-3x+a}{(1+x^2)^\frac{3}{2}}[/tex]. Тя е дефинирана за всяко [tex]x[/tex]. Следователно, локалните екстремуми са тези [tex]x[/tex], за които [tex]f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^3-3x+a = 0[/tex]. За да има три локални екстремума, трябва последното уравнение да има три корена. Означаваме [tex]g(x) = x^3 - 3x + a[/tex]. Нейната производна е [tex]g'(x) = 3x^2 - 3[/tex] с корени [tex]x = \pm 1[/tex]. Значи [tex]g(x)[/tex] е растяща за [tex]x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)[/tex] и намаляваща за [tex][-1, 1][/tex] (във всеки един от трите интервала [tex]g(x)[/tex] има не повече от един корен). Отбелязваме, че [tex]\lim_{x \to -\infty}g(x) = -\infty[/tex] и [tex]\lim_{x \to \infty}g(x) = \infty[/tex]. [tex]g(x)[/tex] има три нули [tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} g(-1) > 0 \\ g(1) < 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a + 2 > 0 \\ a - 2 < 0 \end{array}[/tex]. Решенията на системата и търсените стойности са [tex]a \in (-2, 2)[/tex].

б) [tex]|a| \ge 2 \Leftrightarrow a \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)[/tex]. Разглеждаме два случая.
1 случай. [tex]a \in [2, \infty)[/tex]
Тогава [tex]g(-1) = a + 2 > 0[/tex] и [tex]g(1) = a - 2 \ge 0[/tex]. Имайки предвид интервалите на растене и намаляване (по-горе) и [tex]\lim_{x \to -\infty}g(x) = -\infty[/tex], [tex]g(x)[/tex] има корен [tex]x_1 \in (-\infty, -1)[/tex] (единствен в този интервал) и освен това [tex]g(x) < 0[/tex] за [tex]x \in (-\infty, x_1)[/tex] и [tex]g(x) > 0[/tex] за [tex]x \in (x_1,1) \cup (1, \infty)[/tex]. Тоест [tex]g(x)[/tex] си сменя знака само при [tex]x_1[/tex] от отрицателен на положителен. Същото се отнася за [tex]f'(x)[/tex], понеже знаменателят е положителен и знакът се определя само от [tex]g(x)[/tex]. Това означава, че [tex]f(x)[/tex] има екстремум само при [tex]x_1 \in (-\infty, -1)[/tex], който е минимум.
2 случай. [tex]a \in (-\infty, -2][/tex]
Аналогичен на първия. Получава се, че единственият екстремум (минимум) е при [tex]x_1 \in (1, \infty)[/tex].
Като се обединят двата случая, се доказва, че [tex]x_1 \notin [-1, 1][/tex].