Параметрично неравенство 2

[S.B.]

Да се намерят стойностите за реалния параметър [tex]\alpha[/tex],при които неравенството:
[tex]x^{2}[/tex](2 - [tex]log_{2 }[/tex][tex]\frac{\alpha}{\alpha + 1}[/tex]) +2x(1 + [tex]log_{2 }[/tex][tex]\frac{\alpha}{\alpha + 1}[/tex]) - 2(1 + [tex]log_{2 }[/tex][tex]\frac{\alpha}{\alpha + 1}[/tex]) > 0
е изпълнено за всяко х[tex]\in[/tex]R

[Davids]

Полагаме $k = log_2\frac{a}{a+1}$ и неравенството придобива вида
$(2 - k)x^2 + 2(1+k)x - 2(1+k) > 0$
За да е квадратно уравнението без корени, искаме първо $k \ne 2$ и освен това строго отрицателна дискриминанта:
$D = 4(k+1)^2 + 4.2(1 + k)(2-k) = -4(k^2 - 4k - 5) < 0$
$\Rightarrow k^2 - 4k - 5 > 0$
$k \in (-\infty; -1) \cup (5; \infty)$

Което е тъждествено на системата:
[tex]\begin{array}{|l} log_2\frac{a}{a+1} < -1 \\ log_2\frac{a}{a+1} > 5 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} log_2\frac{a}{a+1} < log_2\frac{1}{2} \\ log_2\frac{a}{a+1} > log_232 \end{array}[/tex]

$\Rightarrow \begin{array}{|l} \frac{a}{a+1} < \frac{1}{2} \\ \frac{a}{a+1} > 32 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{2a - a - 1}{2(a + 1)} < 0 \\ \frac{a - 32a - 32}{a + 1} > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{a - 1}{2(a + 1)} < 0 \\ \frac{-31a - 32}{a + 1} > 0 \end{array}$

Окончателно достигам до $a \in (-1; 1) \cap (-\frac{32}{31}; -1)$, което означава, че нямаме такава стойност на параметъра $a$.

[S.B.]

Полагаме $k = log_2\frac{a}{a+1}$ и неравенството придобива вида
$(2 - k)x^2 + 2(1+k)x - 2(1+k) > 0$
За да е квадратно уравнението без корени, искаме първо $k \ne 2$ и освен това строго отрицателна дискриминанта:
$D = 4(k+1)^2 + 4.2(1 + k)(2-k) = -4(k^2 - 4k - 5) < 0$
$\Rightarrow k^2 - 4k - 5 > 0$
$k \in (-\infty; -1) \cup (5; \infty)$

Което е тъждествено на системата:
[tex]\begin{array}{|l} log_2\frac{a}{a+1} < -1 \\ log_2\frac{a}{a+1} > 5 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} log_2\frac{a}{a+1} < log_2\frac{1}{2} \\ log_2\frac{a}{a+1} > log_232 \end{array}[/tex]

$\Rightarrow \begin{array}{|l} \frac{a}{a+1} < \frac{1}{2} \\ \frac{a}{a+1} > 32 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{2a - a - 1}{2(a + 1)} < 0 \\ \frac{a - 32a - 32}{a + 1} > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{a - 1}{2(a + 1)} < 0 \\ \frac{-31a - 32}{a + 1} > 0 \end{array}$

Окончателно достигам до $a \in (-1; 1) \cap (-\frac{32}{31}; -1)$, което означава, че нямаме такава стойност на параметъра $a$.

Отговорът е:[tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex](0 ; 1)

[inveidar]

Полагаме $k = log_2\frac{a}{a+1}$ и неравенството придобива вида
$(2 - k)x^2 + 2(1+k)x - 2(1+k) > 0$
За да е квадратно уравнението без корени, искаме първо $k \ne 2$ и освен това строго отрицателна дискриминанта:
$D = 4(k+1)^2 + 4.2(1 + k)(2-k) = -4(k^2 - 4k - 5) < 0$
$\Rightarrow k^2 - 4k - 5 > 0$
$k \in (-\infty; -1) \cup (5; \infty)$

Което е тъждествено на системата:
[tex]\begin{array}{|l} log_2\frac{a}{a+1} < -1 \\ log_2\frac{a}{a+1} > 5 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} log_2\frac{a}{a+1} < log_2\frac{1}{2} \\ log_2\frac{a}{a+1} > log_232 \end{array}[/tex]

$\Rightarrow \begin{array}{|l} \frac{a}{a+1} < \frac{1}{2} \\ \frac{a}{a+1} > 32 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{2a - a - 1}{2(a + 1)} < 0 \\ \frac{a - 32a - 32}{a + 1} > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{a - 1}{2(a + 1)} < 0 \\ \frac{-31a - 32}{a + 1} > 0 \end{array}$

Окончателно достигам до $a \in (-1; 1) \cap (-\frac{32}{31}; -1)$, което означава, че нямаме такава стойност на параметъра $a$.

Забравяш, че коефициентът пред втората степен трябва да е положителен!

[Davids]

Прав си, но това добавя още едно изискване към системата, а тя така или иначе няма решение. Променя ли се нещо?

[inveidar]

Прав си, но това добавя още едно изискване към системата, а тя така или иначе няма решение. Променя ли се нещо?

Системата ти не е система! Трябва да търсиш обединението на двете неравенства. След това засичаш с това, което ти казах и допустимите стойности за а-то.

[inveidar]

es.jpg (235.78 KiB) Прегледано 511 пъти

Вторият случай е когато коефициентът пред втората степен е нула. Тогава неравенството не е квадратно, но лесно се проверява, че не е изпълнено за всяко хикс.

[Davids]

Уф, защо съм се заблудил така... Пълни глупости съм писал