Триъгълник

[S.B.]

Нека т.H е петата на височината през върха C на [tex]\triangle[/tex]АВС,а L е пресечната точка на вътрешната ъглополовяща през върха С с АВ.Нека [tex]\alpha,\beta, \gamma[/tex] са ъглите съответно при върховете А,В,С,като [tex]\alpha > \beta[/tex] и cos[tex]\gamma[/tex] = 2.sian[tex]\alpha[/tex].sin[tex]\beta[/tex]
а) Да се докаже,че [tex]\angle[/tex]LCH = [tex]\frac{\pi}{4}[/tex];
б)Ако СВ = а,СА = b,да се изрази CL чрез a и b.

[123a]

a)
$cos\gamma=2sin\alpha.sin\beta$, но [tex]\alpha[/tex]$+\beta+\gamma=180=>cos(\alpha+\beta)=-cos\gamma$

$cos\alpha.cos\beta-sin\alpha.sin\beta=-2sin\alpha.sin\beta=>cos(\alpha-\beta)=0=>\beta=\alpha-90$

От тук получаваме,че $\alpha+\alpha-90+\gamma=180=>\alpha+\frac{\gamma}{2}=135$

В $\triangle$$ALC$, $\angle$$ALC=180-(\alpha+\frac{\gamma}{2})=180-135=45$$=>$$\angle$$HLC=45$,откъдето следва, че $\triangle$$HCL$ e равнобедрен правоъгълен и $\angle$$HCL=45$

[ева]

б) получавам отг. [tex]\frac{ab\sqrt{2a^{2}+2b^{2}}}{a^{2}+b^{2}}[/tex]
Греша ли

[S.B.]

б) получавам отг. [tex]\frac{ab\sqrt{2a^{2}+2b^{2}}}{a^{2}+b^{2}}[/tex]
Греша ли

Отговора,който е даден в сборника е: CL = [tex]\frac{\sqrt{2}ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}[/tex],но не се притеснявай,защото:
[tex]\frac{ab\sqrt{2a^{2} + 2b^{2}}}{a^{2} + b^{2}}[/tex] = [tex]\frac{ab\sqrt{2}\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a^{2} + b^{2}}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{2}ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}[/tex]
Добре ще е обаче да разпишеш решението,за да може да се ползва от хората,които проявят интерес

[ева]

Благодаря за отговора ! Реших я чрез система от 4 ур-я с 4 неизвестни,която ми отне доста време.
Сигурно има по-бърз начин.Надявам се някой кандидат- студент да се справи по-добре .

[S.B.]

Благодаря за отговора ! Реших я чрез система от 4 ур-я с 4 неизвестни,която ми отне доста време.
Сигурно има по-бърз начин.Надявам се някой кандидат- студент да се справи по-добре .

Ето едно по-бързо решение ,като използвам доказаното от а),че [tex]\angle[/tex]HLC = [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]:
За [tex]\triangle[/tex]LBC прилагам синусова теорема: [tex]\frac{ВС}{sinBLC}[/tex] = [tex]\frac{CL}{sin\beta}[/tex] или [tex]\frac{a}{sin\frac{3\pi}{4}}[/tex] = [tex]\frac{CL}{sin\beta}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] CL = [tex]\frac{asin\beta}{\frac{\sqrt{2}}{2}}[/tex] или CL = a[tex]\sqrt{2}[/tex].sin[tex]\beta[/tex]
За [tex]\triangle[/tex]АВС прилагам синусова теорема: [tex]\frac{ВС}{sin\alpha}[/tex] = [tex]\frac{AC}{sin\beta}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{sin\alpha}[/tex] = [tex]\frac{b}{sin\beta}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{b}[/tex] = [tex]\frac{sin\alpha}{sin\beta}[/tex] = [tex]\frac{sin(\beta + \frac{\pi}{2})}{sin\beta}[/tex] = [tex]\frac{cos\beta}{sin\beta}[/tex]
Или [tex]\frac{a}{b}[/tex] = [tex]\frac{cos\beta}{sin\beta}[/tex];
[tex]\begin{array}{|l}\frac{cos\beta}{sin\beta} = \frac{a}{b} \\sin^{2}\beta + cos^{2}\beta = 1 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}[/tex] и тогава от CL = a[tex]\sqrt{2}[/tex]sin[tex]\beta[/tex] получаваме CL = a[tex]\sqrt{2}[/tex]. [tex]\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}[/tex]
Окончателно : CL = [tex]\frac{ab\sqrt{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}[/tex]

[ева]

Ето в това е била грешката ми-не съм използвала доказаното в а).

[S.B.]

Ето в това е била грешката ми-не съм използвала доказаното в а).

Условието: cos[tex]\gamma[/tex] = 2sin[tex]\alpha[/tex]sin[tex]\beta[/tex] ,[tex]\alpha > \beta[/tex] се отнася и за а) и за б);Аз ползвах доказаното от колегата 123а ( за което предполагам,че той не се сърди), за да не пишем по два пъти едни и същи доказателства.Но ти нямаш грешка в отговора,за каква грешка пишеш?!

[ева]

Означих AL=m,BL=n (Не се досетих да използвам,че [tex]\angle[/tex]ALC=45[tex]^\circ[/tex])

[tex]\begin{array}{|l} b^{2}+m^{2}-2bm.cos\alpha=a^{2}+n^{2}-2an.cos(\alpha-90^\circ)\\ \frac{n}{m} =\frac{a}{b}\\\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin(\alpha-90^\circ)}\\sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1\end{array}[/tex]

За финал-[tex]CL^{2}[/tex]=ab-mn

Скрит текст: покажи

За грешка смятам- многото време,което ми отне решението.