Тетраедер

[S.B.]

В тетраедер ABCD стената BCD е перпендикулярна на основата ABC, а ръбът AD сключва с AB и AC ъгли равни на [tex]\frac{\pi}{3}[/tex].Да се намери обема на тетраедера, ако AB =2 , AC = 3 и BC = 4.
Отг. [tex]V_{ABCD }[/tex] = [tex]\frac{9\sqrt{5}}{20}[/tex]

[Nathi123]

Поради лош Интернет е трудно да публикувам решението. Само мога да напиша някои стъпки. Височината на триъг. BCD DL към ВС е височината на пирамидата . От равенството на ъглите BAD и CAD следва,че AL е ъглополовяща в триъг.АВС. [tex]AL = \frac{3\sqrt{6}}{5}[/tex]. От кос. т-ма за триъг. АВС се получава,че cos BAC=[tex]= - \frac{1}{4} ; sin\angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}; S_{ABC }=\frac{3\sqrt{15}}{4}[/tex]

[Nathi123]

Другата част от решението,пиша два пъти но Интернета на А1 ме изхвърля от сайта(прекъсва ) . Може да се намери cos на половинката на ъгъл А . Построяваме LH перпендикулярно на АВ,тогава DH е перпенд на АВ. Определяме,че АН = 0,9 ; AD=1,8 . От триъг. ALD и т-ма на Питагор се определя DL - височина на пирамидата.

[S.B.]

Искам да публикувам и моето решение на задачата.
Построявам DN[tex]\bot[/tex]AC , DM[tex]\bot[/tex]AB и DL[tex]\bot[/tex]BC. DL e височината на пирамидата,а DN и DM апотеми в стените ACD и ABD;LM и LN са проекции на DM и DN и по теоремата за 3-те перпендикуляра LN[tex]\bot[/tex]AC и LM[tex]\bot[/tex]AB;
[tex]\triangle[/tex]AMD [tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]AND ( 2-ри признак) [tex]\Rightarrow[/tex] DM = DN ,тогава и проекциите LM = LN [tex]\Rightarrow[/tex]т.L ,която принадлежи на AL е на равни разстояния от раменете на [tex]\angle[/tex]CAB [tex]\Rightarrow[/tex]AL е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]BAC;
[tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{9}{2}.\frac{5}{2}.\frac{3}{2}.\frac{1}{2}}[/tex] = [tex]\frac{3\sqrt{15}}{4}[/tex]; Aко LM = LN = t тогава [tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{AC.t}{2}[/tex] + [tex]\frac{AB.t}{2}[/tex] = [tex]\frac{t}{2}[/tex](AC + AB) = [tex]\frac{5t}{2}[/tex] или:
[tex]\frac{5t}{2}[/tex] = [tex]\frac{3\sqrt{15}}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] t= [tex]\frac{3\sqrt{15}}{10}[/tex] или LM = LN = [tex]\frac{3\sqrt{15}}{10}[/tex];
От AL ъглоп.: [tex]\frac{LB}{LC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{AC}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{LB}{LC}[/tex] = [tex]\frac{2}{3}[/tex] , LB = 2x,LC = 3x ,BC = 4 или 5х = 4 от където х = [tex]\frac{4}{5}[/tex] и LB = [tex]\frac{8}{5}[/tex], a LC = [tex]\frac{12}{5}[/tex];
Разглждам [tex]\triangle[/tex]АBL,т.М[tex]\in[/tex]АB и нека MB= y, AM = 2 - y; LM[tex]\bot[/tex]AB и тогава за [tex]\triangle[/tex]MLB по Питагор имаме:
[tex]МB^{2}[/tex] = [tex]BL^{2}[/tex] - [tex]LM^{2}[/tex] или [tex]y^{2}[/tex] = [tex](\frac{8}{5})^{2}[/tex] - [tex](\frac{3\sqrt{15}}{10})^{2}[/tex] от където y = [tex]\frac{11}{10}[/tex] = 1,1;АМ = 2 -y = 2 - 1,1= 0,9;
В [tex]\triangle[/tex]АMD [tex]\angle[/tex]DAM = [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AM}{AD}[/tex] = cos[tex]\frac{\pi}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AD = 2.AM = 2.0,9 или AD = 1,8
За ъглополовящата AL : [tex]AL^{2}[/tex] = AB.AC - BL.LC = 2.3 - [tex]\frac{8}{5}[/tex].[tex]\frac{12}{5}[/tex] = 6 - [tex]\frac{96}{25}[/tex] = [tex]\frac{54}{25}[/tex] или AL = [tex]\frac{3\sqrt{6}}{5}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]ALD по Питагор: [tex]LD^{2}[/tex] = [tex]AD^{2}[/tex] - [tex]AL^{2}[/tex] или [tex]LD^{2}[/tex] = [tex]1,8^{2}[/tex] - [tex](\frac{3\sqrt{6}}{5})^{2}[/tex] или LD = [tex]\frac{6\sqrt{3}}{10}[/tex]
[tex]V_{ABCD }[/tex] = [tex]\frac{LD}{3}[/tex].[tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]\frac{6\sqrt{3}}{10}[/tex].[tex]\frac{3\sqrt{15}}{4}[/tex] =[tex]\frac{9\sqrt{5}}{20}[/tex]