Ирационално параметрично уравнение

[S.B.]

Да се реши уравнението :
[tex]\sqrt{\alpha - х}[/tex] = [tex]x^{2}[/tex] - [tex]\alpha[/tex]
за всяка стойност на реалния параметър [tex]\alpha[/tex].

[123a]

[tex]\sqrt{a-x}=x^2-a[/tex]

Уравнението е еквивалентно на системата

$\begin{array}{|l} x^2-a \ge 0 (*) \\ x^4-2x^2a+a^2+x-a=0 \end{array}$ .

Ще променим малко уравнението и ще го направим квадратно спрямо $a$.

$a^2-(2x^2+1).a+x^4+x=0$

$D=(2x-1)^2=>a_1=x^2+x, a_2=x^2-x+1$

1) случай

Нека $a<0$. Тогава неравенството $x^2-a\ge0$ е винаги изпълнено. Нека разгледаме двете уравнения за $a$, които получихме по-горе, при $a<0$.

A) $x^2+x-a=0$

$D=4a+1$

Ако заместим $x^2=a-x$ в $(*)$ ще получим изискването $x\le0$


$\begin{array}{|l}x_1+x_2 <0\\ x_1.x_2>0 \end{array}=>x_{1,2}<0$ при $a<0$


Ако $D>0=>a>-\frac{1}{4}=>x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{4a+1}}{2}$

Ако $a=-\frac{1}{4}=>x=-\frac{1}{2}$

Ако $a<-\frac{1}{4}$ уравнението няма решение.

От А) получихме, че

Ако $-\frac{1}{4}<a<0$ решение е $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{4a+1}}{2}$

Ако $a=-\frac{1}{4}=>x=-\frac{1}{2}$

Ако $a<-\frac{1}{4}$ уравнението няма решение.

B) $x^2-x+1-a=0$ при $a<0$.

$D=4a-3$

$\begin{array}{|l}x_3+x_4 >0\\ x_3.x_4=1-a \end{array}$

Ако $a<1$, ще получим, че $x_{3,4}>0$, а ако заместим $x^2=a-1+x$ в $(*)$, ще получим като изискване $x\ge1$. Което пък лесно се проверява, че не e изпълнено при $a<0$.Окончателно от случай B) нямаме решения.

2) случай

Нека $a=0$.
Тогава за да имаме положителна величина под корена, изискването е $x\le0$
Тогава имаме $x^2+x=0=>x=0, x=-1$ и $x^2-x+1=0$, което пък няма решение.

От 2) случай получихме, че при $a=0$, решения са $x=0, x=-1$

3) случай

Нека $a>0$

C) $x^2+x-a=0$

При $a>0$ имаме корени с различни знаци. Ако заместим $x^2=a-x$ в $(*)$ ще получим изискването $x\le0$. А отрицателният корен е $x=\frac{-1 - \sqrt{4a+1}}{2}$.

D) $x^2-x+1-a=0$

$\begin{array}{|l}x_3+x_4 >0\\ x_3.x_4=1-a \end{array}$

При $0<a<1$ тук имаме два положителни коренa отново с изискване $x\ge1$. Отново няма корени, които да изпълняват това изискване.

И така получаваме, че при $0<a<1$ решение е $x=\frac{-1 - \sqrt{4a+1}}{2}$.

Ако пък $1-a<0=>a>1$, от $(*)$ получаваме като изискване $x^2\ge1=>x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$

От всички корени, при $a>1$ на това отговарят $x=\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}$ и $x=\frac{-1-\sqrt{4a+1}}{2}$


Окончателно:

Ако $a<-\frac{1}{4}$ уравнението няма решение.

Ако $-\frac{1}{4}<a<0$ решение е $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{4a+1}}{2}$

Ако $a=-\frac{1}{4}=>x=-\frac{1}{2}$

Ако $a=0$, решения са $x=0, x=-1$

Ако $0<a<1$ решение е $x=\frac{-1 - \sqrt{4a+1}}{2}$

Ако $a>1$решения са $x=\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}$ и $x=\frac{-1-\sqrt{4a+1}}{2}$

[ева]

Аз получавам още едно решение.Ако а=1,решение е х=1.

[S.B.]

Окончателно:

Ако $a<-\frac{1}{4}$ уравнението няма решение.

Ако $-\frac{1}{4}<a<0$ решение е $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{4a+1}}{2}$

Ако $a=-\frac{1}{4}=>x=-\frac{1}{2}$

Ако $a=0$, решения са $x=0, x=-1$

Ако $0<a<1$ решение е $x=\frac{-1 - \sqrt{4a+1}}{2}$

Ако $a>1$решения са $x=\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}$ и $x=\frac{-1-\sqrt{4a+1}}{2}$

Отговорът е:
За [tex]\alpha[/tex] < - [tex]\frac{1}{4}[/tex] - няма решение;
За [tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex] [ - [tex]\frac{1}{4}[/tex] , 0) : [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{- 1 + \sqrt{1 + 4\alpha}}{2}[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{- 1 - \sqrt{1 + 4\alpha}}{2}[/tex];
За [tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex](0 , [tex]\frac{3}{4}[/tex]) : х = [tex]\frac{- 1 - \sqrt{1 + 4\alpha}}{2}[/tex];
За [tex]\alpha\ge\frac{3}{4}[/tex] [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{- 1 - \sqrt{1 + 4\alpha}}{2}[/tex], х = [tex]\frac{1 + \sqrt{4\alpha - 3}}{2}[/tex]
Всъщност ти си получил D = 4[tex]\alpha[/tex] - 3,но вместо за [tex]\alpha[/tex][tex]\ge[/tex][tex]\frac{3}{4}[/tex] си писал за [tex]\alpha[/tex]>1