Логаритмично неравенство

[S.B.]

Да се реши неравенството:
[tex]log_{p }(2.3^{x} + 1) - log_{\frac{1}{p} }10 \le log_{p }(9^{x} + 14) - log_{\frac{1}{p} }2[/tex]
за всяка допустима стойност на реалния парамерър ''[tex]p[/tex]''.

[d.georgieva]

ДС: [tex]p>0, p\neq 1[/tex]
[tex]\log_p (2\cdot 3^x+1)-\log_p (9^x+14)\leq \log_{\frac1p}10-\log_{\frac1p}2[/tex]
[tex]\log_p \left(\frac{2\cdot 3^x+1}{9^x+14}\right)\leq \frac{\log_p 5}{\log_p p^{-1}}[/tex]
[tex]\log_p \left(\frac{2\cdot 3^x+1}{9^x+14}\right)\leq \log_p 5^{-1}[/tex]

1 случай: [tex]p \in (0,1)[/tex]
[tex]\frac{2\cdot 3^x+1}{3^{2x}+14}\geq \frac15[/tex]
Полагаме [tex]3^x=y, \ y>0[/tex]

Неравенството [tex]\displaystyle\frac{y^2-10y+9}{5(y^2+14)}\leq 0\Leftrightarrow 1\leq y\leq 9\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2[/tex]

2 случай: [tex]p>1[/tex]
[tex]\frac{2\cdot 3^x+1}{3^{2x}+14}\leq \frac15[/tex]
Полагаме [tex]3^x=y, \ y>0[/tex]

Неравенството [tex]\displaystyle\frac{y^2-10y+9}{5(y^2+14)}\geq 0\Leftrightarrow y\in (0,1]\cup[9,+\infty)\Leftrightarrow x\in(-\infty, 0]\cup [2,\infty)[/tex]

Окончателно: [tex]x\in (-\infty,\infty)[/tex]

[S.B.]

ДС: [tex]p>0, p\neq 1[/tex]
[tex]\log_p (2\cdot 3^x+1)-\log_p (9^x+14)\leq \log_{\frac1p}10-\log_{\frac1p}2[/tex]
[tex]\log_p \left(\frac{2\cdot 3^x+1}{9^x+14}\right)\leq \frac{\log_p 5}{\log_p p^{-1}}[/tex]
[tex]\log_p \left(\frac{2\cdot 3^x+1}{9^x+14}\right)\leq \log_p 5^{-1}[/tex]

1 случай: [tex]p \in (0,1)[/tex]
[tex]\frac{2\cdot 3^x+1}{3^{2x}+14}\geq \frac15[/tex]
Полагаме [tex]3^x=y, \ y>0[/tex]

Неравенството [tex]\displaystyle\frac{y^2-10y+9}{5(y^2+14)}\leq 0\Leftrightarrow 1\leq y\leq 9\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2[/tex]

2 случай: [tex]p>1[/tex]
[tex]\frac{2\cdot 3^x+1}{3^{2x}+14}\leq \frac15[/tex]
Полагаме [tex]3^x=y, \ y>0[/tex]

Неравенството [tex]\displaystyle\frac{y^2-10y+9}{5(y^2+14)}\geq 0\Leftrightarrow y\in (0,1]\cup[9,+\infty)\Leftrightarrow x\in(-\infty, 0]\cup [2,\infty)[/tex]

Окончателно: [tex]x\in (-\infty,\infty)[/tex]

Окончателният отговор е : За [tex]p\in(0,1) ,x\in[0,2][/tex] ; За [tex]p\in ( 1,+\infty) ,x\in(-\infty,0] \cup [2,+\infty)[/tex]

[Евва]

[tex]log_{p }[/tex](2.[tex]3^{x}[/tex]+1)+[tex]log_{p }[/tex]10[tex]\le[/tex][tex]log_{p}[/tex]([tex]3^{2x}[/tex]+14)+[tex]log_{p }[/tex]2

[tex]log_{p }[/tex](20.[tex]3^{x}[/tex]+10)[tex]\le[/tex][tex]log_{p }[/tex](2.[tex]3^{2x}[/tex]+28) полагаме [tex]3^{х}[/tex]=у

1 случай p[tex]\in[/tex](1;+[tex]\infty[/tex]) 20y+10[tex]\le[/tex]2[tex]y^{2}[/tex]+28 |:2

[tex]y^{2}[/tex]-10y+9[tex]\ge[/tex]0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]y_{1 }[/tex]=1 ;[tex]y_{2 }[/tex]=9

| [tex]3^{x}[/tex]=1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex]=0 и [tex]x_{2 }[/tex]=2
|[tex]3^{x}[/tex]=9

Получаваме отговор х[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];0][tex]\cup[/tex][2;+[tex]\infty[/tex])

2 случай p[tex]\in[/tex](0;1) [tex]y^{2}[/tex]-10y+9[tex]\le[/tex]0

Получаваме отговор х[tex]\in[/tex][0;2]