Система с параметри

[S.B.]

За кои стойности на [tex]a[/tex] системата:
[tex]\begin{array}{|l}x^{2} - 2х - y^{2} = 0 \\ y = ax -a +b \end{array}[/tex]
има решение за всяко [tex]b[/tex] ([tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са реални параметри)

[S.B.]

[tex]\begin{array}{|l}x^{2} - 2x - y^{2} = 0 \\y = ax -a + b \end{array}[/tex]
Търсим стойностите на [tex]a[/tex] ,за които за [tex]\forall b \in ( - \infty , + \infty)[/tex] системата има решение;
Заместваме [tex]y = ax -a + b[/tex] в първото уравнение и получаваме:
[tex]x^{2} - 2x - (ax - a + b)^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2x - [ax - (a - b)]^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2x - a^{2}x^{2} + 2a(a - b)x - (a - b)^{2} = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex](1 - a^{2})x^{2} - 2(1 - a^{2} + ab)x - (a - b)^{2} = 0[/tex]
1)Нека [tex]1 - а^{2} = 0 \Rightarrow а_{1 } = 1 , а_{2 } = - 1[/tex]
За [tex]а = 1[/tex] получаваме :[tex]- 2bx = (1 - b)^{2}[/tex] , което за [tex]b = 0[/tex] няма решение [tex]\Rightarrow а \ne 1[/tex];
За [tex]a = -1[/tex] получаваме : [tex]2bx = (-1 - b)^{2}[/tex],което за [tex]b = 0[/tex] няма решение [tex]\Rightarrow a\ne - 1[/tex];
2) [tex]1 - a^{2} \ne 0[/tex]
[tex]D = 4(1 - a^{2} - ab)^{2} + 4(1 - a^{2})(a - b)^{2} = 4[1 - 2a^{2}+ 2ab + (a - b)^{2}] = 4(1 - a^{2} + b^{2}) \ge 0[/tex]
[tex]1 - a^{2} + b^{2} \ge 0 \Rightarrow a^{2} - 1 \le b^{2}[/tex]
[tex]b \in (- \infty, + \infty) \Rightarrow b^{2} \in [0 , +\infty) \Rightarrow a^{2} - 1 \le 0[/tex]
Но [tex]a^{2} - 1 \ne 0[/tex] - остава [tex]a^{2} - 1 < 0[/tex] от където [tex]a \in (-1 , 1)[/tex]
Системата има решение за [tex]\forall b[/tex] когато [tex]a \in ( - 1; 1)[/tex]