Функция с параметър

[S.B.]

Дадена е функцията:
[tex]f(x) = x^{3} - 3x^{2} + (a - 3)x + 1[/tex], където [tex]a\in R[/tex].
Да се намерят онези стойности на [tex]a[/tex], за които [tex]f(x)[/tex] има два локални екстремума в [tex](0.2)[/tex]

[Davids]

$(0.2)$ да не е случайно интервалът $(0; 2)$ или нешо ми убягва като концепция?

[S.B.]

$(0.2)$ да не е случайно интервалът $(0; 2)$ или нешо ми убягва като концепция?

Е,да!Съжалявам!Техническа грешка!Да се чете: интервалът [tex](0 , 2)[/tex]
Благодаря на Davids!

[Добромир Глухаров]

$f'(x)=3x^2-6x+a-3=0$

$\begin{array}{|l}D_1=3^2-3(a-3)=3(6-a)>0\\f'(0)=a-3>0\\f'(2)=3.4-6.2+a-3=a-3>0\end{array}$

$\begin{array}{|l}6-a>0\\a-3>0\end{array}\Leftrightarrow a\in(3;6)$

[ptj]

Горното решение е правилно, но липсва обосновка.

[Добромир Глухаров]

За да има $f(x)$ два различни локални екстремума, трябва производната $f'(x)$ да приема стойност 0 за две различни стойности на х, т.е. дискриминантата на съответното квадратно уравнение (получено от приравняване производната на 0) да е положителна. Освен това, за да бъдат тези стойности за х между 0 и 2, трябва производната (чиято графика е парабола с връх, сочещ надолу) да приема положителни стойности за х=0 и х=2. Така се получава система от три неревенства, последните две от които са еквивалентни, тъй като върхът на параболата е за х=1, т.е. в х=0 и х=2 производната приема една и съща стойност.