Ирационално уравнение

[ева]

[tex]\sqrt[3]{x+1}[/tex]+[tex]\sqrt[3]{x+2}[/tex]+[tex]\sqrt[3]{x+3}[/tex]=0

[pal702004]

Функцията е растяща с очевиден корен $x=-2$

[Maximianus Herculius]

Функцията е растяща с очевиден корен [tex]x=-2[/tex]

pal702004 разбира се е имал предвид: "Функцията е растяща и непрекъсната в [tex]\mathbb{R}[/tex], с очевиден корен [tex]x=-2[/tex]"
но предложенията му са винаги изящно съдържателни и кратки!

[Davids]

Функцията е растяща с очевиден корен $x=-2$

Че си прав, спор няма, но тъй като методът 'очевидно е' невинаги се приема навсякъде като достатъчен, а и понякога убягва, реших да разпиша едно решенийце
Много добре изходихме от факта, че функцията е растяща и коренът ще е само един. Продължаваме с неговото откриване. Полагаме $t = x + 2$ и уравнението придобива вида:
$\sqrt[3]{t - 1} + \sqrt[3]{t + 1} = -\sqrt[3]{t} ||^3$
$t - 1 + 3\sqrt[3]{(t-1)(t+1)}(\sqrt[3]{t - 1} + \sqrt[3]{t + 1}) + t + 1 = -t$
$\sqrt[3]{(t-1)(t+1)}(\sqrt[3]{t - 1} + \sqrt[3]{t + 1}) = -t$

Използваме отново тъждеството от първия ред и заместваме $\sqrt[3]{t - 1} + \sqrt[3]{t + 1} = -\sqrt[3]{t}$, получавайки:
$-\sqrt[3]{(t-1)t(t+1)} = -t$
$\Leftrightarrow (t-1)t(t+1) = t^3$

И така достигаме до първия и единствен корен $t = 0 \Rightarrow x = -2$

Но и без това за уравнението по-нататък лесно се доказва, че
$(t-1)(t+1) = t^2$
$t^2 - 1 = t^2$
$-1 \ne 0$ и други решения няма

[Добромир Глухаров]

Функцията е растяща с очевиден корен [tex]x=-2[/tex]

pal702004 разбира се е имал предвид: "Функцията е растяща и непрекъсната в [tex]\mathbb{R}[/tex], с очевиден корен [tex]x=-2[/tex]"
но предложенията му са винаги изящно съдържателни и кратки!

Всъщност може и да е прекъсната! Стига да е растяща в целия интервал (интервали), в който (които) е дефинирана, все пак коренът си е само един (стига да съществува, а това сме проверили с директно заместване).

[Добромир Глухаров]

По-точно ако например е дефинирана за $x\in(-\infty;a)\cup(b;c)\cup(d;+\infty)$, където $a<b<c<d$ и $\lim_{x\to-\infty}f(x)<\lim_{x\to a-0}f(x)<\lim_{x\to b+0}f(x)<\lim_{x\to c-0}f(x)<\lim_{x\to d+0}f(x)<\lim_{x\to+\infty}f(x)$ и е строго растяща във всеки от тези подинтервали, можем да кажем, че е растяща в цялото Д.М. и следва, че може да има най-много една нула (уравнението $f(x)=0$ да има най-много един корен).

[pal702004]

но тъй като методът 'очевидно е' невинаги се приема навсякъде като достатъчен

Ако се използва като "метод" - да, но горният случай не е такъв. А иначе коренът си е очеваден. И поста ми не беше толкова за да "реша" уравнението, колкото лек упрек към авторите, че можеха да озорят малко повече аудиторията.

Тук кубовете на събираемите образуват аритметична прогресия (можеха да са в каквато и да е друга линейна зависимост - това към авторите). Тоест:

$2b^3=a^3+c^3$

И по условие $a+b+c=0$ Или

$2b^3-a^3+(a+b)^3=0$

Кубично уравнение от 2 променливи, но еднородно, т.е може да се реши относително $\frac b a$

Хубаво ако има рационален корен, не е задължително да е нула.