Ирационално уравнение

[ева]

[tex]\sqrt[3]{x^{2}+4х+4}[/tex]+[tex]\sqrt[3]{x^{2}-3х-10}[/tex]+[tex]\sqrt[3]{x^{2}-10х+25}[/tex]=7

Отг. 6; -3

[S.B.]

[tex]\sqrt[3]{x^{2} +4x +4} + \sqrt[3]{x^{2} - 3x + 10} + \sqrt[3]{x^{2} -10x + 25} = 7 \Leftrightarrow \sqrt[3]{(x + 2)^{2}} + \sqrt[3]{(x + 2)(x - 5)} + \sqrt[3]{(x - 5)^{2}} = 7[/tex]
Това може да се запише и така:
[tex]\sqrt[3]{(x + 2)^{2}} - \sqrt[3]{(x + 2)(5 - x)} + \sqrt[3]{(5 - x)^{2}} = 7[/tex]
Полагам : [tex]\sqrt[3]{x + 2} = u \Rightarrow x + 2 = u^{3}[/tex] и [tex]\sqrt[3]{5 - x} = v \Rightarrow 5 - x = v^{3}[/tex] ; Съответно [tex]\sqrt[3]{(x + 2)^{2}} = u^{2}[/tex] и [tex]\sqrt[3]{(5 - x)^{2}} = v^{2}[/tex];
[tex]u^{3} + v^{3} = x + 2 + 5 - x = 7[/tex] ,а уравнението добива вида : [tex]u^{2} - uv + v^{2} = 7[/tex] и образувам системата:
[tex]\begin{array}{|l} u^{3} + v^{3} = 7 \\u^{2} - uv + v^{2} = 7 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (u + v)(u^{2} - uv + v^{2}) = 7 \\ u^{2} - uv + v^{2} = 7\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}(u + v).7 = 7 \\ u^{2} - uv + v^{2} = 7 \end{array} \Rightarrow u + v = 1 \Rightarrow u = 1 - v[/tex] ;
замествам във второто уравнение и получавам:
[tex](1 - v)^{2} - v.(1 -v) + v^{2} = 7 \Leftrightarrow v^{2} - v - 2 = 0[/tex] с корени [tex]v_{1 } = 2 ,v_{2 } = - 1[/tex] и съответно [tex]u_{1 } = -1, u_{2 } = 2[/tex]
Връщам се към субституцията: [tex]x + 2 = (u_{1 })^{3}[/tex] или [tex]x + 2 = -1 \Rightarrow x_{1 } = -3[/tex]; [tex]x + 2 = (u_{2 })^{3}[/tex] или [tex]x + 2 = 8 \Rightarrow x_{2 } = 6[/tex]
[tex]5 - x = (v_{1 })^{3}[/tex] или [tex]5 - x = 8 \Rightarrow x_{3 } = -3[/tex] ; [tex]5 - x = (v_{2 })^{3}[/tex] или [tex]5 - x = -1 \Rightarrow x_{4 } = 6[/tex]
Окончателен отговор: [tex]x_{1 } = x_{3 } = -3[/tex] ; [tex]x_{2 } = x_{4 } = 6[/tex];

[ева]

Може да се реши и по друг начин.

[S.B.]

Може да се реши и по друг начин.

Сигурно може да се реши и по друг начин и вярвам,че ще споделиш твоето решение!

[ева]

Скрит текст: покажи

Тази зад.бе от групата на "Ирационални ур-я решими с въвеждане на спомагателни неизвестни.Ето р-то от книжката на Константин Петров.S.B.беше тръгнала в правилната посока.

[tex]\sqrt[3]{(х+2)^{2}}[/tex]+[tex]\sqrt[3]{(х+2)(х-5)}[/tex]+[tex]\sqrt[3]{(х-5)^{2}}[/tex]=7 /.([tex]\sqrt[3]{x+2}[/tex]-[tex]\sqrt[3]{x-5}[/tex])[tex]\ne[/tex]0

[tex]\sqrt[3]{(х+2)^{3}}[/tex]-[tex]\sqrt[3]{(х-5)^{3}}[/tex]=7([tex]\sqrt[3]{x+2}[/tex]-[tex]\sqrt[3]{x-5}[/tex]) /:7

1=[tex]\sqrt[3]{x+2}[/tex]-[tex]\sqrt[3]{x-5}[/tex]

[tex]\sqrt[3]{x+2}[/tex]+[tex]\sqrt[3]{5-x}[/tex]=1 полагат [tex]\sqrt[3]{x+2}[/tex]=u ; [tex]\sqrt[3]{5-x}[/tex]= v получаваме:

[tex]\begin{array}{|l} u+v=1 \\ u^{3}+v^{3}=7 \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} u=1-v\\ u^{3}+v^{3}=7 \end{array}[/tex]

1-3v+3[tex]v^{2}[/tex]-[tex]v^{3}[/tex]+[tex]v^{3}[/tex]=7

[tex]v^{2}[/tex]-v-2=0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]v_{1 }[/tex]=-1 или [tex]v_{2 }[/tex]=2 (към полагането)

[tex]\sqrt[3]{x+2}[/tex]=-1 или [tex]\sqrt[3]{x+2}[/tex]=2 т.е. х+2=-1 или х+2=8 [tex]\Leftrightarrow[/tex]

х=-3 или х=6