Ирационално уравнение

[ева]

Конкурсен изпит за ВНВСУ "Ген.Благой Иванов" ,1 973 г.

[tex]\sqrt{x-\frac{1}{х}}[/tex]-[tex]\sqrt{1-\frac{1}{х}}[/tex]=[tex]\frac{х-1}{х}[/tex]

Отговор: 1; [tex]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]

[S.B.]

[tex]\sqrt{x - \frac{1}{x}} - \sqrt{1 - \frac{1}{x}} = \frac{x - 1}{x}[/tex] Д.М. [tex]x \ne 0 ,x\in (- 1,0)\cup[1,+\infty)[/tex]
[tex]\sqrt{x - \frac{1}{x}} - \sqrt{1 - \frac{1}{x}} = \frac{x - 1}{x} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x}} - \sqrt{\frac{x - 1}{x}} = \frac{x - 1}{x} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x - 1}{x}}.\sqrt{x + 1} - \sqrt{\frac{x - 1}{x}} = \frac{x - 1}{x}[/tex]
Полагам:[tex]\sqrt{\frac{x - 1}{x}} = t \Rightarrow \frac{x - 1}{x} = t^{2} , x = \frac{1}{1 - t^{2}}[/tex] и съответно [tex]x + 1 = \frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}[/tex] ;
Замествам и уравнението придобива вида: [tex]t.\sqrt{\frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}} - t - t^{2} = 0[/tex] или [tex]t.(\sqrt{\frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}} - 1 - t) = 0[/tex]
[tex]t = 0[/tex] и [tex]\sqrt{\frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}} - 1 - t = 0[/tex]
[tex]t = 0 \Rightarrow \sqrt{\frac{x - 1}{x}} = 0 \Rightarrow x = 1 \in[/tex]Д.М.
[tex]\sqrt{\frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}} - 1 - t = 0 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}} = 1 + t[/tex] ; Повдигам на квадрат двете страни и получавам:
[tex]\frac{2 - t^{2}}{(1 - t)(1 + t)} = (1 + t)^{2} \Leftrightarrow 2 - t^{2} = (1 - t)(1 + t)^{3}[/tex] След преработка се получава:
[tex]t^{4} + 2t^{3} - t^{2} -2t +1 = 0[/tex] [tex]t = 0[/tex] не е корен , деля двете страни на [tex]t^{2}[/tex] и получавам:
[tex]t^{2} + 2t - 1 - \frac{2}{t} + \frac{1}{t^{2}} = 0 \Leftrightarrow (t^{2} + \frac{1}{t^{2}}) + 2(t - \frac{1}{t}) - 1 = 0[/tex]
[tex]t^{2} + \frac{1}{t^{2}} = (t - \frac{1}{t})^{2} +2[/tex] И ако [tex](t - \frac{1}{t}) = y[/tex] заместваме и получаваме:[tex]y^{2} + 2y +1 = 0[/tex]
или [tex](y + 1)^{2} = 0 \Rightarrow y = -1 \Rightarrow t - \frac{1}{t} = - 1 \Rightarrow t^{2} + t - 1 =0[/tex] с корени :[tex]t_{1 } = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} , t_{2 } = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}[/tex]
Връщам се към субституцията:
[tex]\frac{x - 1}{x} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \in[/tex]Д.М.
[tex]\frac{x - 1}{x} = \frac{- 1 - \sqrt{5 }}{2} \Rightarrow x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\notin[/tex]Д.М.
Окончателно:[tex]x_{1 } = 1 ,x_{2 } = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}[/tex]
Може да имам някъде техническа грешка при сметките,но не я намирам

[Nathi123]

[tex]x\ge 1[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{x-1}{x}}=0\cup \sqrt{x+1}=1+\sqrt{\frac{x-1}{x}}\Leftrightarrow x=1\cup x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2(x-\frac{1}{x})-1=0;x-\frac{1}{x}=t[/tex]
[tex]x=1\cup t=1;x\ge1\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex].

[ева]

Когато се върна към субституцията,трябвало е да запишеш :
[tex]\sqrt{\frac{х-1}{х}}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex]

Скрит текст: покажи

Утре ще пратя тяхното интересно решение.

[S.B.]

Когато се върна към субституцията,трябвало е да запишеш :
[tex]\sqrt{\frac{х-1}{х}}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex]

Скрит текст: покажи

Утре ще пратя тяхното интересно решение.

Аз видях решението в сборника на Паскалев.То си е цяло приключение!Вероятно тогава не са учили да правят полагания!

[S.B.]

[tex]\sqrt{x - \frac{1}{x}} - \sqrt{1 - \frac{1}{x}} = \frac{x - 1}{x}[/tex] Д.М. [tex]x \ne 0 ,x\in (- 1,0)\cup[1,+\infty)[/tex]
[tex]\sqrt{x - \frac{1}{x}} - \sqrt{1 - \frac{1}{x}} = \frac{x - 1}{x} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x}} - \sqrt{\frac{x - 1}{x}} = \frac{x - 1}{x} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x - 1}{x}}.\sqrt{x + 1} - \sqrt{\frac{x - 1}{x}} = \frac{x - 1}{x}[/tex]
Полагам:[tex]\sqrt{\frac{x - 1}{x}} = t \Rightarrow \frac{x - 1}{x} = t^{2} , x = \frac{1}{1 - t^{2}}[/tex] и съответно [tex]x + 1 = \frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}[/tex] ;
Замествам и уравнението придобива вида: [tex]t.\sqrt{\frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}} - t - t^{2} = 0[/tex] или [tex]t.(\sqrt{\frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}} - 1 - t) = 0[/tex]
[tex]t = 0[/tex] и [tex]\sqrt{\frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}} - 1 - t = 0[/tex]
[tex]t = 0 \Rightarrow \sqrt{\frac{x - 1}{x}} = 0 \Rightarrow x = 1 \in[/tex]Д.М.
[tex]\sqrt{\frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}} - 1 - t = 0 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{2 - t^{2}}{1 - t^{2}}} = 1 + t[/tex] ; Повдигам на квадрат двете страни и получавам:
[tex]\frac{2 - t^{2}}{(1 - t)(1 + t)} = (1 + t)^{2} \Leftrightarrow 2 - t^{2} = (1 - t)(1 + t)^{3}[/tex] След преработка се получава:
[tex]t^{4} + 2t^{3} - t^{2} -2t +1 = 0[/tex] [tex]t = 0[/tex] не е корен , деля двете страни на [tex]t^{2}[/tex] и получавам:
[tex]t^{2} + 2t - 1 - \frac{2}{t} + \frac{1}{t^{2}} = 0 \Leftrightarrow (t^{2} + \frac{1}{t^{2}}) + 2(t - \frac{1}{t}) - 1 = 0[/tex]
[tex]t^{2} + \frac{1}{t^{2}} = (t - \frac{1}{t})^{2} +2[/tex] И ако [tex](t - \frac{1}{t}) = y[/tex] заместваме и получаваме:[tex]y^{2} + 2y +1 = 0[/tex]
или [tex](y + 1)^{2} = 0 \Rightarrow y = -1 \Rightarrow t - \frac{1}{t} = - 1 \Rightarrow t^{2} + t - 1 =0[/tex] с корени :[tex]t_{1 } = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} , t_{2 } = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}[/tex]
Връщам се към субституцията:
[tex]\frac{x - 1}{x} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \in[/tex]Д.М.
[tex]\frac{x - 1}{x} = \frac{- 1 - \sqrt{5 }}{2} \Rightarrow x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\notin[/tex]Д.М.
Окончателно:[tex]x_{1 } = 1 ,x_{2 } = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}[/tex]
Може да имам някъде техническа грешка при сметките,но не я намирам

Да,аз вместо да се върна към [tex]\frac{x - 1}{x} = t^{2}[/tex] и от там да получа отговора [tex]x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex] Бог знае защо съм написала [tex]\frac{x - 1}{x} = t[/tex]
Случват се и такива неща! Благодаря на ева и Nathi123

[ева]

Скрит текст: покажи

Тази зад.бе от ирационални уравнения,за решаването на които може да се приложи умножаване с израз,спрегнат на даден ирационален израз.

Д.М. х[tex]\in[/tex][-1;0)[tex]\cup[/tex][1;+[tex]\infty[/tex])

Изразът [tex]\sqrt{x-\frac{1}{х}}[/tex]+[tex]\sqrt{1-\frac{1}{х}}[/tex] е спрегнат на израза в лявата страна.Този сбор се анулира при х=1 [tex]\in[/tex]Д.М.
Заместваме в ур-то и получаваме,че числото 1 е решение на даденото ур-е.
Нека х[tex]\ne[/tex]1. В такъв случай умножаваме двете страни с израза [tex]\sqrt{x-\frac{1}{х}}[/tex]+[tex]\sqrt{1-\frac{1}{х}}[/tex]

х-[tex]\frac{1}{х}[/tex]-1+[tex]\frac{1}{х}[/tex]=[tex]\frac{х-1}{х}[/tex]([tex]\sqrt{x-\frac{1}{х}}[/tex]+[tex]\sqrt{1-\frac{1}{х}}[/tex]) /:(х-1)[tex]\ne[/tex]0

[tex]\sqrt{x-\frac{1}{х}}[/tex]+[tex]\sqrt{1-\frac{1}{х}}[/tex]=х

Лявата страна на това ур-е приема неотрицателни стойности.Тогава то ще има р-е,когато и дясната страна приема неотрицателни стойности.
т.е. при х[tex]\ge[/tex]0.Това променя Д.М.на [tex]D_{1 }[/tex]=(1;+[tex]\infty[/tex])

Събираме почленно последното ур-е с даденото .

2[tex]\sqrt{x-\frac{1}{х}}[/tex]=1+х-[tex]\frac{1}{х}[/tex] (с деф. множ. [tex]D_{1 }[/tex])

[tex](\sqrt{x-\frac{1}{х}}-1)^{2}[/tex]=0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\sqrt{x-\frac{1}{х}}[/tex]-1=0 т.е.[tex]x^{2}[/tex]-х-1=0

[tex]x_{1 }[/tex]=[tex]\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex][tex]\notin[/tex][tex]D_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex]=[tex]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex][tex]\in[/tex][tex]D_{1 }[/tex]

Решения на ур-то са числата 1;[tex]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]

Който иска да се упражни в/у този вид,ето още една зад.

[tex]\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}[/tex]-[tex]\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}[/tex]=2 Отг.х[tex]\in[/tex][2;+[tex]\infty[/tex])