Система

[S.B.]

За кои стойности на реалните параметри [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] системата:
[tex]\begin{array}{|l}3^{2(x - y)} - 6.3^{-2x} - 3^{-y} > 0\\ax +by = 5 \end{array}[/tex]
има решение?
Отговор: [tex]b = 0[/tex] или
[tex]b > 0, a \ne -2b[/tex] или
[tex]b < 0 ,a \ne -2b[/tex] или
[tex]a\in (-5 , 0), a = - 2b[/tex];

[S.B.]

Тъй като задачата премина в "графата" теми без отговор,ще си позволя да представя моето решение.
[tex]\begin{array}{|l}3^{2(x - y)} -6.3^{- 2x} - 3^{- y} > 0 \\ax + by = 5 \end{array}[/tex]
[tex]3^{2(x - y)} - 6.3^{- 2x} - 3^{- y} > 0 \Leftrightarrow 3^{2x - 2y} - 6.3^{- 2x} - 3^{- y} > 0[/tex] умножавам двете страни с [tex]3^{2x} > 0[/tex] и получавам:
[tex]3^{4x - 2y} - 6 - 3^{2x - y} > 0 \Leftrightarrow 2^{3(2x - y)} - 3^{2x - y} - 6 > 0[/tex] Полагам [tex]3^{2x -y} = t > 0[/tex] и получавам:
[tex]t^{2} - 3t - 6 > 0 \Leftrightarrow (t - 3)(t + 2) > 0[/tex] От [tex]\begin{cases}(t - 3)(t + 2) > 0 \\ t> 0 \end{cases} \Rightarrow t > 3 \Rightarrow 3^{2x -y} > 3^{1} \Rightarrow 2x - y > 1 \Leftrightarrow y < 2x - 1[/tex]
Сега системата придобива следния вид: [tex]\begin{array}{|l}y < 2x - 1 \\by = 5 - ax \end{array}[/tex]
Нека [tex]b = 0 \Rightarrow 5 - ax = 0[/tex] за [tex]a = 0[/tex] - няма решение, но за [tex]a \ne 0 , x = \frac{5}{a} , y < \frac{10}{а} - 1[/tex]
Получи се ,че системата има решение за [tex]b = 0[/tex] и [tex]a \ne 0[/tex] [tex]( x = \frac{5}{a} ; y < \frac{10}{a} - 1)[/tex]
Нека [tex]b \ne 0 \Rightarrow[/tex] или [tex]b > 0[/tex] или [tex]b < 0[/tex]
Нека [tex]b > 0 \Rightarrow y = \frac{5 - ax}{2}[/tex] заместваме в нераванството и получаваме:[tex]\frac{5 - ax}{2} < 2x - 1\Leftrightarrow \frac{5 - ax - 2bx + b}{b} < 0[/tex]
[tex]b > 0 \Rightarrow 5 - ax - 2bx + b < o \Leftrightarrow x(a + 2b) > b + 5[/tex] за [tex]a + 2b = 0[/tex] или [tex]a = - 2b[/tex] имаме [tex]b + 5 < 0[/tex], което не е вярно ,[tex]\Rightarrow a \ne - 2b[/tex] и [tex]x > \frac{b + 5}{a + 2b}[/tex]
Получи се,че за [tex]b > 0[/tex] и [tex]a \ne - 2b[/tex] системата има решение : ([tex]x > \frac{b + 5}{a + 2b} ; y = \frac{5 - ax}{b}[/tex])
Нека [tex]b < 0 , y = \frac{5 - ax}{b}[/tex] и след заместване : [tex]\frac{5 - ax}{b} < 2x - 1 \Leftrightarrow \frac{5 - ax - 2bx + b}{b} < 0[/tex]
[tex]b < 0 \Rightarrow 5 - ax -2bx + b > 0 \Leftrightarrow x(a + 2b) < 5 + b[/tex] за [tex]a \ne - 2b \Rightarrow x < \frac{5 + b}{a + 2b}[/tex]
Получи се ,за [tex]b < 0 , a \ne -2b[/tex] системата има решение;
За [tex]a = -2b \Rightarrow 5 + b > 0 , b > -5 \Rightarrow b\in (-5 , 0) \Rightarrow[/tex] за [tex]a = -2b , b\in (0 , -5)[/tex] системата има решение

[S.B.]

Нека [tex]b \ne 0 \Rightarrow[/tex] или [tex]b > 0[/tex] или [tex]b < 0[/tex]
Нека [tex]b > 0 \Rightarrow y = \frac{5 - ax}{2}[/tex] заместваме в нераванството и получаваме:[tex]\frac{5 - ax}{2} < 2x - 1\Leftrightarrow \frac{5 - ax - 2bx + b}{b} < 0[/tex]

Съжалявам,набрала съм "[tex]y = \frac{5 -ax}{2}[/tex]" вместо "[tex]y = \frac{5 - ax}{b}[/tex]" и "[tex]\frac{5 - ax}{2} < 2x - 1[/tex]" вместо "[tex]\frac{5 - ax}{b} < 2x - 1[/tex]"
Моля за извинение!Техническа грешка