Неравенство

[S.B.]

Да се реши неравенството:
[tex]log_{\frac{1}{x} }(\frac{5}{2}x - 1) + 2 \ge 0[/tex]

[Davids]

ДС: [tex]\begin{array}{|l} \frac{1}{x} > 0 \Rightarrow x > 0 \\ \frac{1}{x} \ne 1 \Rightarrow x \ne 1 \\ \frac{5}{2}x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{5} \end{array}[/tex]

$log_{\frac{1}{x}}(\frac{5}{2}x - 1) > -2$
$log_{\frac{1}{x}}(\frac{5}{2}x - 1) > log_{\frac{1}{x}}x^2$

Първи случай: $\frac{1}{x} > 1 \Rightarrow x < 1$
$\Rightarrow \frac{5}{2}x - 1 \ge x^2$
$2x^2 - 5x + 2 \le 0$
$\Rightarrow x \in [\frac{1}{2}; 2]$

Пресечено с ДС и ДС за случая, това ни дава решение $x \in [\frac{1}{2}; 1)$

Втори случай: $\frac{1}{x} < 1 \Rightarrow x > 1$
$\Rightarrow \frac{5}{2}x - 1 \le x^2$
$2x^2 - 5x + 2 \ge 0$
$\Rightarrow x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)$

Пресечено с ДС и ДС за случая, стигаме в този случай до отговор $x \in [2; +\infty)$.

Окончателно $x \in [\frac{1}{2}; 1) \cup [2; +\infty)$

Не съм проверявал, а и май съм малко уморен, но е доста вероятно нещо да изпускам.