Тетраедър описан около сфера

[S.B.]

Около сфера с радиус [tex]R[/tex] е описан правилен тетраедър.Да се намери за коя стойност на основния ръб , обемът на тетраедъра е най - малък.

[Maximianus Herculius]

Около сфера с радиус [tex]R[/tex] е описан правилен тетраедър.Да се намери за коя стойност на основния ръб , обемът на тетраедъра е най - малък.

Тетраедърът, щом е правилен, е определен еднозначно с радиуса на вписаната си сфера.
Зависимостта е [tex]a=2R\sqrt{6}[/tex]

[KOPMOPAH]

Около сфера с радиус [tex]R[/tex] е описан правилен тетраедър.Да се намери за коя стойност на основния ръб , обемът на тетраедъра е най - малък.

Тетраедърът, щом е правилен, е определен еднозначно с радиуса на вписаната си сфера.
Зависимостта е [tex]a=2R\sqrt{6}[/tex]

Напълно подкрепям колегата! При правилния тетраедър всички ръбове са равни и задачата губи смисъл.

И понеже винаги търся как би трябвало да изглежда задачата, предлагам такава формулировка:

Около сфера с радиус [tex]R[/tex] е описана правилна триъгълна пирамида. Да се намери за коя стойност на основния ръб, обемът на пирамидата е най-малък.

[S.B.]

Здравейте колеги!Аз също не бях съгласна с "правилен тетраедър",но не се реших да променя условието на задачата.Реших,че е най - добре да я представя по начина по който е в сборника и да предизвикам нещо като "обсъждане",след което по съвсем естествен начин да бъде променено автентичното условие,в което вместо "правилна триъгълна пирамида" е написано "правилен тетраедър".Явно става въпрос или за печатна или за редакционна грешка.Благодаря на колегите,които изказаха мнение!Нека формулировката бъде такава,каквато я предложи КОРМОРАН:

Около сфера с радиус [tex]R[/tex] е описана правилна триъгълна пирамида.Да се определи за коя стойност на основния ръб,обемът на пирамидата е най-малък.

[KOPMOPAH]

Ако обозначим търсения основен ръб с $a$, а ъгъла между околна стена и основата с $2\alpha$, то не е трудно да се получи зависимостта $$a=2\sqrt 3 R\; cotg\; \alpha .$$
Височината на пирамидата е $$h=R+\frac R{cos 2\alpha}=R\left (\frac{cos 2\alpha+1}{cos 2\alpha} \right ) ,$$ следователно обемът й е $$V=\frac 13.\frac{a^2\sqrt 3} 4.h=\cdots= cotg^2\alpha \left (\frac{cos 2\alpha+1}{cos 2\alpha} \right )R^3 .$$

Разглеждаме обема като функция на $\alpha$ и намираме производната $$V'(\alpha)=\frac{- \frac{4}{tg^{3}{\left (x \right )}} + \frac{12 \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}}{\left(2 \sin^{2}{\left (x \right )} - 1\right)^{2}},$$
която след опростяване и приравняване на $0$ води до уравнението
$$sin^2 \alpha=\frac 13$$ и доколкото $\alpha$ е остър ъгъл, вземаме корена $$sin \alpha=\frac {\sqrt 3}3.$$
По-нататък $cos \alpha=\frac {\sqrt 6}3$, $cotg \alpha =\sqrt 2$ и за търсената страна на основата получаваме
$$a=2\sqrt 3 R\; cotg\; \alpha=2\sqrt 6 R ,$$ (отговор, посочен от Maximianus Herculius), т.е. тетраедърът наистина е ПРАВИЛЕН

Скрит текст: покажи

За намиране на производната използвах това улеснение, да е жив и здрав администраторът

[S.B.]

Втори начин
Означавам с [tex]x[/tex] основния ръб на правилната триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] с основа [tex]ABC[/tex];
Построявам равнина [tex]\gamma[/tex] по околния ръб [tex]DC[/tex] и апотемата на страната [tex]ABD[/tex] - [tex]DK[/tex] и разглеждам сечението на [tex]\gamma[/tex] с пирамидата - [tex]\triangle DKC[/tex] :
[tex]CK = \frac{x\sqrt{3}}{2} , DH \bot CK , \angle HKD = 2\varphi[/tex] , т. [tex]O[/tex] - център на сферата, [tex]O\in DH ,[/tex] а [tex]KO[/tex] - ъглополовяща на [tex]\angle HKD[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle HKO[/tex]: [tex]HK = \frac{x\sqrt{3}}{6} , HO = R[/tex] и [tex]\frac{HO}{HK} = tg\varphi \Rightarrow tg\varphi = \frac{2\sqrt{3}.R}{x}[/tex];
Разглеждам [tex]\triangle HKD[/tex]: [tex]\frac{DH}{KH} = tg2\varphi[/tex] или [tex]DH = \frac{x\sqrt{3}}{6}. \frac{2tg\varphi}{1 - tg^{2}\varphi} = \frac{x\sqrt{3}}{6}. \frac{\frac{4\sqrt{3}R}{x}}{1 - \frac{12.R^{2}}{x^{2}}} = .... = \frac{12R.x^{2}}{6(x^{2} - 12R^{2})} = DH = h[/tex]
[tex]V(x) = \frac{1}{3}.\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{12.R.x^{2}}{6(x^{2} - 12R^{2})} = \frac{R\sqrt{3}.x^{4}}{6(x^{2} - 12R^{2})}[/tex]
Д.М. за [tex]x[/tex]:Ако пресечем сферата през центъра с равнина успоредна на основата ще получим кръг с радиус [tex]R[/tex] ,който се проектира в равнината на основата в окръжност,концентрична на вписаната в основата окръжност;Нека в [tex]\triangle ABC[/tex] е вписана окръжност с радиус [tex]r[/tex] Знаем,че [tex]r = \frac{x\sqrt{3}}{6}[/tex] ,[tex]r > R \Rightarrow \frac{x\sqrt{3}}{6} > R \Rightarrow x> 2R\sqrt{3} \Rightarrow x\in (2R\sqrt{3}, + \infty)[/tex]
[tex]V'(x) = \frac{12R\sqrt{3}.x^{5} - 288R^{3}\sqrt{3}.x^{3}}{(6x^{2} - 72R^{2})^{2}}[/tex] (Господ здраве да дава на администратора за улеснението!)
[tex]V'(x) \ge 0 \Rightarrow 12R\sqrt{3}.x^{3}(x - 2\sqrt{6}R)(x + 2\sqrt{6}R)\ge 0[/tex]
За [tex]x\in (2\sqrt{3}R,2\sqrt{6}R)[/tex] функцията е намаляваща, за [tex]x = 2\sqrt{6}R[/tex] функцията има минимум.