Отново функция с параметър

[S.B.]

Нека [tex]f(x) = x^{2} - 2mx + 2m^{2} - 2[/tex] ,където [tex]m[/tex] е реален параметър.
а) Да се намерят стойностите на [tex]m[/tex] ,за които [tex]f(x) = 0[/tex] има реални корени с различни знаци;
б) Да се намерят най - голямата и най - малката стойности на
[tex]F = \frac{x_{1 } - 1}{x_{2 } + 2} + \frac{x_{2 } - 1}{x_{1 } + 2}[/tex] ,
където [tex]x_{1 } , x_{2 }[/tex] са реалните корени на уравнението [tex]f(x) = 0[/tex].

[Nathi123]

а) Корените са реални и с различни знаци,ако [tex]x_{1 }x_{2 }<0\Rightarrow 2m^{2}-2<0\Leftrightarrow m\in (-1,1)[/tex].
(Може да се докаже,че тогава D>0 ).

[Nathi123]

б) F(m) =[tex]\frac{m}{(m+1)^{2}} ; m\ne -1 \Rightarrow x_{1 }\ne -2 ; x_{2 }\ne -2 ; F'(m) =\frac{(m+1)(1-m)}{(m+1)^{4}}[/tex].

[Nathi123]

Следователно F'(m) си сменя знака около -1 и 1 и има локален максимум при m = 1 .
[tex]F(1)=\frac{1}{4} ; \lim_{m \to \infty}F(m)=0 ; \lim_{m \to -1+0}F(m)=\lim_{m \to -1-0}F(m)=-\infty[/tex].
Значи F(m) има най - голяма стойност =F(1) =[tex]\frac{1}{4}[/tex] и няма най - малка стойност.