Съществуват ли тези прогресии?

[S.B.]

Съществуват ли аритметични прогресии,за които:
а)[tex]S_{n } = 4n^{2} + 5n[/tex] ;
б)[tex]S_{n} = 4n^{2} + 5[/tex]
за всяко [tex]n \in N[/tex] , където [tex]S_{n }[/tex] е сумата от първите [tex]n[/tex] члена на прогресиите ?

[kmitov]

Първата сума е на аритметична прогресия с $a_1=9$ и $d=8$. Втората сума не е на аритметична прогресия.
За първата: $S_1=a_1=9$ $S_2=a_1+a_2=26$. Следователно, $a_2=17$ и $d=8$. Тогава $S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}n=\frac{2.9+8(n-1)}{2}n=4n^2+5n$.

За Втората $S_1=a_1=9$, $S_2=a_1+a_2=21$, $S_3=a_1+a_2+a_3=41$. Така $a_2=12$, a $a_3=20$ и $a_3-a_2=8, a_2-a_1=3$.