Ромб и още нещо...

[S.B.]

В ромб е вписан кръг,а в кръга - квадрат.Да се определи острия ъгъл на ромба,ако лицето на квадрата е 4 пъти по- малко от лицето на ромба.

[Davids]

За квадрата, вписан във вписаната окръжност с радиус $r$, е в сила, $S_{кв} = 2r^2$ (защо, ще оставя на читателите ).
Паралелно с това, за всеки описан четириъгълник, какъвто е и нашият ромб със страна $a$, е в сила $S = pr = 2ar$.
Тогава по даденото имаме:
$\frac{S_{кв}}{S} = \frac{1}{4} = \frac{2r^2}{2ar} = \frac{r}{a}$

I) Кратък вариант в частния случай:
Ако приемем точката $O$ за център на вписаната окръжност, която всъщност съвпада и с пресечната точка на диагоналите, то триъгълник $AOB$ ще стане правоъгълен (заради това, че диагоналите в ромба са си взаимно перпендикулярни) с височина към хипотенузата, равна на $\frac{1}{4}$ от нея, което по една теоремка от седми клас още (а и по принцип ) веднага означава, че $\angle BAO = 15^{\circ}$. Оттам и острият ъгъл на ромба ни излиза $30^{\circ}$

II) По-обобщен вариант в общия случай:
Ако даденото отношение на лицата обозначим с $\frac{S_{кв}}{S} = k = \frac{r}{a}$, то тогава от двата израза за $S$ на ромба имаме:
$S = a^2sin\alpha = 2ar \Rightarrow sin\alpha = \frac{2r}{a} = 2k$ в общия случай. И така за частния случай за $k = \frac{1}{4}$ имаме $sin\alpha = 2.\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{\circ}$