Логаритмично уравнение

[S.B.]

Решете уравнението:
[tex]1 + log_{x }\frac{4 - x}{10} = [lg(2 + lga) - 1]log_{x }10[/tex] ,
където [tex]a[/tex] е реален параметър.За кои стойности на [tex]a[/tex] корените на уравнението са цели числа?

[Davids]

Не се ли елиминира променливата, така на пръв поглед поне като гледам?

[S.B.]

Не се ли елиминира променливата, така на пръв поглед поне като гледам?

Може и да може - не съм пробвала.

[Davids]

Глупости съм приказвал, хич не съм видял променливата в логаритъма...

Решете уравнението:
[tex]1 + log_{x }\frac{4 - x}{10} = [lg(2 + lga) - 1]log_{x }10[/tex] ,
където [tex]a[/tex] е реален параметър.За кои стойности на [tex]a[/tex] корените на уравнението са цели числа?

ДС: $x > 0; x \ne 1$

$\Leftrightarrow log_x\frac{x(4-x)}{10} = [lg(2 + lga) - 1]log_{x }10$
$\Rightarrow \frac{log_x\frac{x(4-x)}{10}}{log_{x }10} = lg(2 + lga) - lg10$

И по обратната формула за смяна на основата имаме:
$lg\frac{x(4-x)}{10} = lg\frac{2 + lga}{10}$

$\Rightarrow x(4 - x) = 2 + lga$
$x^2 - 4x + lga + 2 = 0$
$D = 4(2 - lga)$
$x = 2 \pm \sqrt{2 - lga}$

Търсим корени цели числа, следователно трябва $\sqrt{2 - lga}$ да е цяло неотрицателно число. Не ми се разписва подробно защо, но единствени такива стойности в крайна сметка са $a = 10$ и $a = 100$.

[Добромир Глухаров]

Само към допустимите стойности трябва да се добави, че $x<4$. Не, че оказва влияние на крайния отговор.

[S.B.]

Само към допустимите стойности трябва да се добави, че $x<4$. Не, че оказва влияние на крайния отговор.

Д.С. : [tex]x>0,x\ne 1,x < 4[/tex] и изискването [tex]a[/tex] да е такова,че корените да са цели числа прави Д.С. :[tex]x = 2 ; x = 3[/tex]
Освен това за [tex]a = 10 \Rightarrow x_{1 } = 2 + \sqrt{2 - 1} = 3 \in Д.С. , x_{2 } = 2 - \sqrt{2 - 1} = 1 \notin Д.С.[/tex]
Аз постъпих по следния начин:
[tex]2 + lga = x(4 - x) \Leftrightarrow lga = 4x - x^{2} -2 \Leftrightarrow a = 10^{4x - x^{2} - 2}[/tex]
Използвах Д.С. и за [tex]x = 2 \Rightarrow a = 10^{8 - 4 - 2} = 10^{2} = 100[/tex] ; за [tex]x = 3 \Rightarrow a = 10^{12 - 9 - 2} = 10[/tex]