Конус вписан в сфера

[S.B.]

В сфера с радиус [tex]R[/tex] е вписан прав кръгов конус с най - голям обем.Да се намерят височината и радиуса на основата на конуса.

[Добромир Глухаров]

Чертаем си осното сечение и от Питагорова теорема имаме $(H-R)^2+r^2=R^2\Rightarrow r^2=2RH-H^2$.

$V=\frac{\pi}{3}r^2.H$
$V(H)=\frac{\pi}{3}(2RH-H^2).H=\frac{\pi}{3}(2RH^2-H^3)$

$V(0)=V(2R)=0\Rightarrow$ максимумът е за $H\in(0;2R)$

$V'(H)=\frac{4\pi RH}{3}-\pi H^2=0$
$\pi H\left(\frac{4R}{3}-H\right)=0\Rightarrow H_1=0;\ H_2=\frac{4R}{3}$

За $H_1=0\to min V(H)=V(0)=0$
За $H_2=\frac{4R}{3}\to max V(H)=V\left(\frac{4R}{3}\right)=\frac{\pi H^2}{3}(2R-H)|_{H=\frac{4R}{3}}=\frac{\pi.16R^2}{27}\cdot\frac{2R}{3}=\frac{32\pi R^3}{81}\\ r=\sqrt{2R.H-H^2}=\sqrt{2R\cdot\frac{4R}{3}-\frac{16R^2}{9}}=\sqrt{\frac{24R^2-16R^2}{9}}=\sqrt{\frac{8R^2}{9}}=\frac{2\sqrt{2}R}{3}$

$H=\frac{4R}{3};\ r=\frac{2\sqrt{2}R}{3}$