Аритметична прогресия

[inveidar]

Растяща, крайна аритметична прогресия се състои от различни цели, положителни числа. Ученик извадил от квадрата на сумата на всички членове на прогресията сумата от квадратите на членовете и. След това задраскал последния член и отново пресметнал същата разлика с останалите членове. Втората разлика се оказала с 1440 по-малка от първата. Да се пресметне максималният възможен брой на членовете на първоначалната прогресия.

[inveidar]

Тази задача никой ли не може, или не иска да реши?!

[KOPMOPAH]

Можем, ама отдавна (за съжаление) излязохме от категорията "Кандидат-студенти" ...

Ако никой от настоящите Кан.-ст. не се пребори, ще се включа

[Davids]

Стига до $a_n(n-1)(a_1 + a_{n - 1}) = 1440 = 2^5.3^2.5$ и тук увисвам... На прав път ли съм поне, че доста се поблъсках с този вид на задачата дотук... ама нещо задънена ми се чини улицата Някоя по-напреднала игра на делимости ще да е, ама не мога да го измисля

П.П. Може би, ако представим множителите като $(n-1)[a_1 + (n-1)d][2a_1 + (n-2)d] = 2^5.3^2.5$ и започнем да разглеждаме евентуалните случаи на разпределение на делимостите?

[KOPMOPAH]

...Може би, ако представим множителите като $(n-1)[a_1 + (n-1)d][2a_1 + (n-2)d] = 2^5.3^2.5$ и започнем да разглеждаме евентуалните случаи на разпределение на делимостите?

Точно така. Пробвай да докажеш, че $n<13$ и после разглеждай всеки отделен случай, като намаляваш $n$.

[S.B.]

Получих,че [tex]n = 4[/tex]

[pal702004]

$n=9,a_1=4,d=1$

[KOPMOPAH]

Аз получих, че числата са $8$, а именно: $4$, $5$, $...$, $11$

П.П. Малко сложничка ми се струва за кандидат-студенти... По-скоро е за състезание.

[Davids]

Аз получих, че числата са $8$, а именно: $4$, $5$, $...$, $11$

П.П. Малко сложничка ми се струва за кандидат-студенти... По-скоро е за състезание.

Няма как да са 8, тогава $n -1 = 7$ и $a_n = 11$ - и двете прости множители, които не присъстват в произведението накрая. По-скоро съм съгласен с колегата pal

[S.B.]

Получих,че [tex]n = 4[/tex]

[tex]a_{1 } = 3,d = 7,n = 4[/tex] или 3,10.17.24

[Davids]

Получих,че [tex]n = 4[/tex]

[tex]a_{1 } = 3,d = 7,n = 4[/tex] или 3,10.17.24

И това, разбира се, е валидна прогресия, отговаряща на условието. Обаче се пита кой е най-големият възможен брой членове... Та, отговорът на pal удовлетворява и тази последна клауза

[KOPMOPAH]

Грешен съм!
ПЪРВОНАЧАЛНАТА прогресия е $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $11$, $12$, сиреч $9$ члена, а аз съм написал числата, останали СЛЕД задраскването, които наистина са $8$.

Но продължавам да мисля, че задачата не е за кандидат-студенти. Коя година е давана и къде? Или е за подготовка?

[KOPMOPAH]

Отговарям си сам.

След търсене в Интернет попаднах на

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

което май е първообразът на задачата. В случая е взета само подточка в).

Задачата е давана на ДЗИ 2016 г. в Русия.

[inveidar]

Да, така е, но аз съм дал положителни числа. И вместо да добавям, съм задраскал. Това, разбира се, не променя съществено оригиналната задача.

[KOPMOPAH]

Да, така е, но аз съм дал положителни числа. И вместо да добавям, съм задраскал. Това, разбира се, не променя съществено оригиналната задача.

Задачата е хубава и предизвика интерес, което е целта на всяка задача.