Конкурс СУ"Кл.Охридски" 15.07.1998 г. зад.3

[S.B.]

В [tex]\triangle ABC[/tex] медианата през върха [tex]A \bot AB[/tex].Да се намери [tex]cos \angle CAB[/tex]:
а) ако дължините на страните на [tex]\triangle ABC[/tex] образуват аритметична прогресия;
б) ако мерките на ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex] образуват аритметична прогресия;
в) за който, при [tex]BC = 1[/tex],периметърът на [tex]\triangle ABC[/tex] е най - голям;

[S.B.]

В [tex]\triangle ABC[/tex] медианата през върха [tex]A \bot AB[/tex].Да се намери [tex]cos \angle CAB[/tex]:
а) ако дължините на страните на [tex]\triangle ABC[/tex] образуват аритметична прогресия;
б) ако мерките на ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex] образуват аритметична прогресия;
в) за който, при [tex]BC = 1[/tex],периметърът на [tex]\triangle ABC[/tex] е най - голям;

Подусловия а) и б) са публикувани вече от ivanova74@abv.bg и има решения за тях.Всъщност само условие в) не е публикувано и няма решение за него.Извинявам се!

[Knowledge Greedy]

Периметърът е [tex]P=1+\frac{1}{sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]
и няма как да има краен максимум.

[inveidar]

Периметърът е [tex]P=1+\frac{1}{sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]
и няма как да има краен максимум.

Навярно си сбъркал сметките. Аз получавам, че периметърът е [tex]1+\frac{1-cos\alpha}{\sqrt{1+3cos^2\alpha}}[/tex] и е максимален, когато [tex]cos \alpha=-\frac{1}{3}[/tex].

4ert1.jpg (1.63 MiB) Прегледано 538 пъти

[S.B.]

Периметърът е [tex]P=1+\frac{1}{sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]
и няма как да има краен максимум.

Навярно си сбъркал сметките. Аз получавам, че периметърът е [tex]1+\frac{1-cos\alpha}{\sqrt{1+3cos^2\alpha}}[/tex] и е максимален, когато [tex]cos \alpha=-\frac{1}{3}[/tex].

Да, отговорът е [tex]cos\alpha = -\frac{1}{3}[/tex]

[inveidar]

Може да се реши и без производна.