Сечение на куб

[KOPMOPAH]

На ръбовете $AA_1$ и $CC_1$ на куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ са взети точки $E$ и $F$ такива, че $AE =2 A_1E$ и $CF=2C_1F$. През точките $B$, $E$ и $F$ е прекарана равнина, деляща куба на две части. Да се намери отношението на обемите на телата, на които равнината разделя куба.

[KOPMOPAH]

Кубът изглежда така:

Пресечен куб.png (8.36 KiB) Прегледано 1088 пъти

[ptj]

Нека ръба на куба има размер 1m, а равнината дели куба на две тела с обеми [tex]V_1[/tex] и [tex]V_2[/tex].
Построяваме правоъгълен паралелипед [tex]ABCDA_2B_2C_2D_2[/tex], като [tex]AA_2=\frac{4}{3} m[/tex] .
Равнината [tex]BEF[/tex] минава през [tex]A_2[/tex] и разделя парапелипеда на две симетрични фигури (еднакви), като техния обем е по [tex]\frac{2}{3} m^3[/tex].
Ако построим през [tex]E[/tex] права успоредна на [tex]A_1D_1[/tex], тя ще пресече [tex]DD_2[/tex] в т.[tex]P[/tex],
като [tex]LD_1:EP=D_2D_1:D_2P=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}[/tex], сл.[tex]LD_1=\frac{1}{2}m[/tex].

[tex]V_{LKD_2}=\frac{1}{3}LD_1.D_1K.D_1D_2=\frac{1}{3.2.2.3}=\frac{1}{36}m^3[/tex]

[tex]V_1=\frac{2}{3}-\frac{1}{36}=\frac{23}{36}m^3[/tex]

[tex]V_2=1-V_1=\frac{13}{36}m^3[/tex]

[tex]V_1:V_2=23:13[/tex]

П.П. Може и със средствата на АГ - равнина през 3 точки и разстояние от точка до нея.

[KOPMOPAH]

И аз приех ръба на куба за $1$.
Тогава $A_1E=\frac 13$, $A_1L=\frac 12$, $A_1M=\frac 12$, като последното следва от подобието на триъгълниците $\triangle ABE \approx \triangle A_1ME$.
Обемът на тялото с връх т.$B_1$ се получава, като от обема на пирамидата $BMNB_1$ се извадят обемите на малките пирамиди $MLEA_1$ и $KFNC_1$.
Известно е, че за триъгълни пирамиди с три взаимно ортогонални околни ръба, обемът е равен на $\frac 16$ от произведението на дължините на тези ръбове. Така $V_{BMNB_1}=\frac 32.\frac 32.1.\frac 16=\frac 38$, $V_{MLEA_1}=\frac 12.\frac 12.\frac 13.\frac 16=\frac1{72}$, $V_{KFNC_1}=\frac 12.\frac 12.\frac 13.\frac 16=\frac1{72}$ и за обема на тялото с връх т.$B$ се получава, ако използвам означението на колегата ptj $V_2=\frac 38-2.\frac1{72}=\frac{25}{72}$, съответно $V_1=1-\frac{25}{72}=\frac{47}{72}$ и търсеното съотношение е $V_1:V_2=47:25$.

П.П. Предполагам, че същото би се получило и със средствата на АГ.

[ptj]

Сгрешил съм коефициента във формулата за обем на пирамида. [tex]V_{LKD_2}=\frac{1}{6}LD_1.D_1K.D_1D_2=\frac{1}{72}[/tex].
Тогава [tex]V_1=\frac{47}{72}[/tex], a [tex]V_2=\frac{25}{72}[/tex].

[KOPMOPAH]

И аз съм сгрешил, пропускайки един индекс
В изречението

"...Така $V_{BMNB_1}=\frac 32.\frac 32.1.\frac 16=\frac 38$, $V_{MLEA_1}=\frac 12.\frac 12.\frac 13.\frac 16=\frac1{72}$, $V_{KFNC_1}=\frac 12.\frac 12.\frac 13.\frac 16=\frac1{72}$ и за обема на тялото с връх т.$B$ се получава, ако използвам означението на колегата ptj $V_2=\frac 38-2.\frac1{72}=\frac{25}{72}$, съответно $V_1=1-\frac{25}{72}=\frac{47}{72}$ и търсеното съотношение е $V_1:V_2=47:25$...."

т.$B$ да се чете т.$B_1$.

[S.B.]

Ще ползвам прекрасния чертежа на КОРМОРАН ,който любезно е предоставил за ползване от всичкi желаещи.
Приемам,че кубът има ръб =[tex]a[/tex]; Равнината която пресича куба и минава през точките [tex]B,E,F[/tex] да означим с [tex]\gamma[/tex]
Равнината [tex]\gamma[/tex] пресича [tex]DD_{1 }[/tex] в някаква точка [tex]P[/tex] ,която трябва да определим.
т.[tex]P[/tex] е пресечна точка на продължението на височината на равнобедрения [tex]\triangle EBF[/tex] и [tex]DD_{1 }[/tex]
Нека [tex]AC \cap BD = т.O , A_{1 }C_{1 }\cap B_{1 }D_{1 } = O_{1 }[/tex] като [tex]OO_{1 }\cap EF = Q[/tex] Разглеждам [tex]\triangle BOQ:[/tex]
Нека означим [tex]\angle OBQ = \varphi[/tex] Тогава [tex]\frac{QO}{OB} = tg\varphi[/tex]. Знаем,че [tex]QO = AE = \frac{2}{3}a , BO = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow tg\varphi \frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]
Тогава от [tex]\triangle BDP[/tex] ,(където [tex]P[/tex] е търсената точка) имаме :[tex]\frac{DP}{DB} = tg\varphi \Rightarrow DP = a\sqrt{2}.\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{3}a \Rightarrow PD_{1 } = \frac{1}{3}a[/tex]
В равнината ([tex]ADD_{1 }A_{1 }[/tex]) имаме [tex]PE \cap A_{1 }D_{1 } = L[/tex] и тъй като [tex]\triangle A_{1 }EL \cong \triangle D_{1 }PL \Rightarrow A_{1 }L = D_{1 }L = \frac{a}{2}[/tex]
Аналогично за т.[tex]K \in C_{1 }D_{1 }[/tex] получаваме [tex]C_{1 }K = D_{1 }K = \frac{a}{2}[/tex]
Получихме,че [tex]\gamma \cap ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 } = EBFKL[/tex] и разделя нашия куб на две пирамиди :[tex]EBFKL[/tex] с връх [tex]B_{1 }[/tex] и обем [tex]V_{1 }[/tex] и [tex]EBFLK[/tex] с връх [tex]D[/tex] и обем[tex]V_{2 } = a^{3} - V_{1 }[/tex]
Търсим [tex]V_{1 }[/tex]: Нека повърхнината на [tex]EBFLK = S[/tex] ,а повърхнината на ортогоналната проекция на [tex]EBFKL[/tex] върху [tex]ABCD = S_{1 }[/tex] знаем,че [tex]\frac{S_{1 }}{S} = cos\varphi[/tex]
Ортогоналната проекция на [tex]EBFLK[/tex] върху [tex]ABCD[/tex] е [tex]L_{1 }ABCK_{1 }[/tex] като [tex]L_{1 }[/tex] и [tex]K_{1 }[/tex] са среди съответно на [tex]AD[/tex] и [tex]CD[/tex]
[tex]S_{1 } = S_{ABCD } - S_{L_{1 }K_{1 }D } = a^{2} - \frac{a^{2}}{8} = \frac{7}{8}a^{2}[/tex]
[tex]tg\varphi = \frac{2\sqrt{2}}{3} \Rightarrow cos\varphi = \frac{3\sqrt{17}}{17}[/tex] и тогава от [tex]\frac{S_{1 }}{S} = cos\varphi \Rightarrow \frac{7}{8}a^{2} = S.\frac{3\sqrt{17}}{17}[/tex] от където [tex]S = \frac{7\sqrt{17}}{24}a^{2}[/tex]
Върхът [tex]B_{1 }[/tex] се проектира върху равнината [tex]EBFKL[/tex] в точка [tex]H\in BP[/tex] и [tex]B_{1 }H[/tex] е височината на пирамидата с връх [tex]B_{1 }[/tex]
От [tex]\triangle BHB_{1 }[/tex] имаме [tex]\frac{BH}{BB_{1 }} = sin \angle HBB_{1 } = sin(90^\circ - \varphi) = cos\varphi[/tex] или [tex]BH = BB_{1 }.cos\varphi = a.\frac{3\sqrt{17}}{17}[/tex]
[tex]V_{1 } = \frac{1}{3}.S.BH = \frac{1}{3}.\frac{7\sqrt{17}}{17}.a^{2}.a.\frac{3\sqrt{17}}{17} = \frac{7a^{3}}{17}[/tex] ,[tex]V_{2 } = a^{3} - \frac{7a^{3}}{17} = \frac{10a^{3}}{17}[/tex]
[tex]\frac{V_{1 }}{V_{2 }} = \frac{\frac{7a^{3}}{17}}{\frac{10a^{3}}{17}}[/tex] или [tex]V_{1 } : V_{2 } = 7 : 10[/tex]

[S.B.]

Получихме,че [tex]\gamma \cap ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 } = EBFKL[/tex] и разделя нашия куб на две пирамиди :[tex]EBFKL[/tex] с връх [tex]B_{1 }[/tex] и обем [tex]V_{1 }[/tex] и [tex]EBFLK[/tex] с връх [tex]D[/tex] и обем[tex]V_{2 } = a^{3} - V_{1 }[/tex]

Двете пирамиди са : [tex]EBFKLB_{1 }[/tex] с връх [tex]B_{1 }[/tex] и обем [tex]V_{1 }[/tex] и [tex]EBFKLD[/tex] с връх [tex]D[/tex] и обем [tex]V_{2 } = a^{3} - V_{1 }[/tex]
Съжалявам!