Намерете отношението

[123a]

В правоъгълен триъгълник $ABC$ $AM$ е медиана, а $BL$ е ъглополовяща. Нека $P$ e пресечната точка на $AM$ и $BL$ и точките $A,B,M,L$ лежат на една окръжност. Да се намери отношението [tex]\frac{BP}{LP}[/tex].

Задачата е от списание Математика+ и ми се стори интересна, още няма публикувано решение.

[inveidar]

9/5 май?

[123a]

Аз получавам 5/3, ако нямам грешки в сметките.

[KOPMOPAH]

И аз съм за $5:3$

[inveidar]

Аз приемам ъгъл АСВ за деветдесет градуса, а то не е казано?

[monika_at]

И аз предполагам, че ъгъл С е 90 градуса. Задачата се решава много лесно, като се приложи теорията на люлките.

[inveidar]

9/5 май?

Даа, 5/3 е.

[inveidar]

И аз предполагам, че ъгъл С е 90 градуса. Задачата се решава много лесно, като се приложи теорията на люлките.

За пръв път чувам такава теория. Какво представлява?

[ptj]

Няма нищо сложно.

[tex]\frac{a}{2}:b=CN:CA=tg(\angle{CBL})=tg(\angle{CAM})=CL:CB=\frac{ab}{a+c}:a[/tex]

[tex]\frac{a}{2b}=\frac{b}{a+c}[/tex]

[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]

Системата има единствено положително решение: [tex]b=\frac{a\sqrt{5}}{2}, c=\frac{3a}{2}[/tex]

През т.[tex]L[/tex] построяваме успоредна права на [tex]BL[/tex], която пресича [tex]CM[/tex] в т.[tex]N[/tex]

[tex]CN:NM=CL:LA=a:c=2:3[/tex]

[tex]CM:MB=1:1[/tex]

сл. [tex]LP:PB=NM:MB=3:5[/tex]

П.П. Това е случая [tex]ACB=90^\circ[/tex]