Правилна пирамида. Сечение.

[Петър Евгениев]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб [tex]a[/tex] и обем [tex]V=\frac{a^{3}\sqrt{7}}{6}[/tex] През диагонала на основата е прекарана равнина, която разделя пирамидата на две тела, чийто обеми са в отношение [tex]1:2[/tex]. Да се намери лицето на сечението и разстоянието от върха на пирамидата до равнината на сечението.

[S.B.]

Правилна пирамида Сечение

Без заглавие (8).png (442.68 KiB) Прегледано 502 пъти

[tex]V_{ACDG } : V_{ABCGF } = 1:2 \Rightarrow V_{ACDG } = \frac{1}{3}V_{ABCDF } = \frac{1}{3}\frac{a^{3}\sqrt{7}}{6} = \frac{a^{3}\sqrt{7}}{18}[/tex]
[tex]V_{ACDG } = \frac{1}{3}.B_{ACD }.GH \Rightarrow \frac{1}{3}.\frac{a^{2}}{2}.GH = \frac{a^{3}\sqrt{7}}{18}\Rightarrow GH = \frac{a\sqrt{7}}{3}[/tex]
[tex]V_{ABCDF } = \frac{1}{3}.a^{2}.EF = \frac{a^{3}\sqrt{7}}{6} \Rightarrow EF = \frac{a\sqrt{7}}{2}[/tex]
[tex]\triangle DEF \approx \triangle DHG \Rightarrow \frac{EF}{HG} = \frac{DE}{DH} \Rightarrow \frac{\frac{a\sqrt{7}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{3}} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{DH} \Rightarrow DH = \frac{a\sqrt{2}}{3} , HE = DE - DH = \frac{a\sqrt{2}}{6}[/tex]
От [tex]\triangle GHE[/tex] по Питагор :[tex]GE^{2} = GH^{2} + HE^{2} = (\frac{a\sqrt{7}}{3})^{2} + (\frac{a\sqrt{2}}{6})^{2} = \frac{7a^{2}}{9} + \frac{2a^{2}}{36} = \frac{30a^{2}}{36} \Rightarrow GE = \frac{a\sqrt{30}}{6}[/tex]
Лесно се доказва,че сечението ,[tex]\triangle ACG[/tex] е равнобедрен - ([tex]\triangle ADG \cong \triangle CDG[/tex]) , [tex]GE[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow GE[/tex] е и височина [tex]\Rightarrow S_{ACG } = \frac{AC.GE}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\frac{a\sqrt{30}}{6} = \frac{a^{2}\sqrt{15}}{6}[/tex]
Построявам [tex]FJ \bot EG т.J[/tex] лежи на продължението на [tex]EG[/tex] Нека [tex]\angle GEH = \alpha , \Rightarrow \angle JEF = 90^\circ -\alpha[/tex]
[tex]FJ[/tex] е разстоянието от върха [tex]F[/tex] до равнината на сечението [tex]AGC[/tex]
От [tex]\triangle EFG : \frac{FJ}{FE} = tg(90 - \alpha) = cotg\alpha \Rightarrow FJ = FE.cotg\alpha = \frac{a\sqrt{7}}{2}.cotg\alpha[/tex]
От [tex]\triangle HEG : cotg\alpha = \frac{HE}{HG} = \frac{\sqrt{14}}{14} \Rightarrow FJ = \frac{a\sqrt{7}}{2}\frac{\sqrt{14}}{14} = \frac{a\sqrt{2}}{4}[/tex]
____________
Дано не съм оплела конците някъде!