Примерен тест по математика 2008г. - Технически университет

[DimityrU]

Зад 30.
Да се намерят стойностите на реалния параметър а , за които уравнението x^4 - 2ax^2 + a = 0 в отворения интервал (0;π/2 ) има точно едно решение.

[ptj]

Стандартен начин :
[tex]f(x^2)=(x^2)^2-2ax^2+a[/tex]

[tex]f(x^2)=0[/tex] има един корен в [tex](0;\frac{\pi^2}{4}) \Leftrightarrow f(0).f(\frac{\pi^2}{4})<0[/tex]

Друг начин:

[tex]a=g(x)=\frac{x^4}{1-2x^2}[/tex]



1.) [tex]g(x)[/tex] e непрекъсната и растяща в [tex]x\in(0;\sqrt{\frac{1}{2}})[/tex]
(числителя расте с положителни стойности,знаменателя намаля с положителни стойности).

2.) [tex]g(x)[/tex] e непрекъсната и растяща в [tex]x\in(\sqrt{\frac{1}{2}};1][/tex] ([tex]a[/tex] расте от [tex]-\infty[/tex] до -1)

3.) [tex]g(x)[/tex] e непрекъсната и намаляща [tex]x\in (1;+\infty)[/tex] ([tex]a[/tex] намаля от -1 към [tex]-\infty[/tex] )

В 1.) има еднозначно съответствие между [tex]x[/tex] и [tex]а[/tex], т.е. [tex]а \in (0;+\infty)[/tex] има един корен [tex]x \in (0;\sqrt{\frac{1}{2}})[/tex]

Понеже [tex]\frac{\pi}{2}>1[/tex] , трябва да изберем само тези [tex]x[/tex] от клона 2.), за които на съответната стойност за [tex]a[/tex] в клона 3.) отговаря [tex]x>\frac{\pi}{2}[/tex] (единствено решение),

т.e. [tex]x\in \bigg(-\infty;\frac{(\frac{\pi}{2})^4}{1-2(\frac{\pi}{2})^2}\bigg)[/tex]

[DimityrU]

Извинявам се много, но сега забелязах, че съм допуснал грешка при уравнението...
Трябва да е x^4 - 2ax^2 + a^2 = 0

[ptj]

Така е елементарно, защото е точен квадрат.

[tex]а\in (0;\frac{\pi^2}{4})[/tex]