Конкурс ТУ и ВИАС 1991 г.зад.4

[S.B.]

Правилна триъгълна пирамида $ABCD$ с връх $D$ има околен ръб с дължина $2l$.През средата [tex]A_{1 }[/tex] на ръба $AD$ ,е прекарана равнина ,перпендикулярна на $AD$,която пресича апотемата $DN$ на стената $BCD$ в точка $M$ така,че $DM : DN = 3 : 4$.Намерете обема на пирамидата и отношението на обемите на двете тела, на които равнината разделя пирамидата.

[S.B.]

Правилна триъг.пирамида - сечение през средата на ок.ръб AD и перпендикулярно на AD

Untitled (35).png (416.09 KiB) Прегледано 624 пъти

[S.B.]

Явно тази задача е или "непосилна" или "недостойна" за внимание.В никакъв случай не е "непосилна" следователно остава,че е "недостойна" за внимание,за това аз ще дам решението,за да не отава без решение.Може някога на наякого да бъде интересна,кой знае?
Построение на сечението: Условието е да се построи сечение ,което да минава през средата [tex]A_{1 }[/tex] на ок.ръб $AD$ и перпендикулярно на $AD$.За целта е необходимо $AD$ да бъде перпендикулярно на две пресичащи се прави от сечението.В сечението на пирамидата [tex]\triangle AND[/tex] , получено по ок.ръб $AD$ и апотемата $DN$ построяваме права прeз [tex]A_{1 }[/tex] и перпендикулярна на $DA$ която пресича $DN$ в т.$M$ ; По теоремата на трите перпендикуляра [tex]BC \bot AD[/tex] ,през т.$M$ в стената $BCD$ построяваме права II $BC$,която пресича $DB$ и $DC$ съответно в точки $P$ и $Q$. $PQ$ II $BC$ , $BC$ $\bot AD$ [tex]\Rightarrow PQ \bot AD[/tex]; По $PQ$ и $A_{1 }M$ построявам сечението $A_{1 }PQ$
От [tex]\frac{DM}{DN} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{DP}{DB} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow DP = DB.\frac{3}{4} = 2l.\frac{3}{4} \Rightarrow DP = \frac{3}{2}.l[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle A_{1 }DP : \angle A_{1 }DP = \varphi \Rightarrow cos\varphi = \frac{DA_{1 }}{DP} = \frac{l}{\frac{3l}{2}} \Rightarrow cos\varphi = \frac{2}{3}[/tex]
За [tex]\triangle ABD[/tex] прилагам косинусова теорема :[tex]AB^{2} = AD^{2} + BD^{2} - 2.AD.BD.cos\varphi \Leftrightarrow AB^{2} = \frac{8l^{2}}{3} \Rightarrow AB = \frac{2\sqrt{3}}{6}.l[/tex]
В основата [tex]\triangle ABC , AN[/tex] е медиана и [tex]AN = AB\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AN = l\sqrt{2}[/tex] тогава [tex]AO = \frac{2}{3}AN \Rightarrow AO = \frac{2\sqrt{2}}{3}.l[/tex]
От [tex]\triangle AOD[/tex] по Питагор :[tex]OD^{2} = AD^{2} - AO^{2} = 4l^{2} - \frac{8l^{2}}{9} = \frac{28}{9}l^{2} \Rightarrow OD = \frac{2\sqrt{7}}{3}.l[/tex]
[tex]V_{ABCD } = \frac{1}{3}.S_{ABC }.OD = \frac{1}{3}.\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}. OD = \frac{4\sqrt{21}}{27}.l^{3}[/tex]
Обема на пирамидата се разделя на [tex]V_{A_{1 }PQD }[/tex] и останалата част ,като [tex]V_{ост }= V_{ABCD } - V_{A_{1 }PQD }[/tex]
Пирамидата [tex]DA_{1 }PQ[/tex] има основа [tex]\triangle A_{1 }PQ[/tex] и височина [tex]A_{1 }D \bot (A_{1 }PQ)[/tex] по построение;
Търсим обема на [tex]V_{DA_{1 }PQ } = \frac{1}{3}.S_{A_{1 }PQ }.A_{1 }D[/tex]
[tex]\triangle A_{1 }PQ[/tex] е равнобедрен от [tex]\triangle A_{1 }PD \cong \triangle A_{1 }QD[/tex] по катет и хипотенуза [tex]\Rightarrow A_{1 }P = A_{1 }Q[/tex]
От [tex]\triangle A_{1 }PD[/tex] имаме [tex]\frac{A_{1 }P}{DP} = sin\varphi , cos\varphi = \frac{2}{3} \Rightarrow sin\varphi \frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow A_{1 }P = \frac{3}{2}l . \frac{\sqrt{5}}{3}[/tex] или [tex]A_{1 }P = \frac{\sqrt{5}}{2}.l[/tex]
От [tex]\frac{DM}{DN} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{PQ}{BC} = \frac{3}{4} \Rightarrow PQ = \frac{\sqrt{6}}{2}.l \Rightarrow PM = \frac{PQ}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}.l[/tex]
От [tex]\triangle A_{1 }PM[/tex] по Питагор : [tex]A_{1 }M^{2} = A_{1 }P^{2} - PM^{2}[/tex] от където [tex]A_{1 }M = \frac{\sqrt{14}}{4}.l[/tex]
[tex]V_{DA_{1 }PQ } = \frac{1}{3}. \frac{A_{1 }M.PQ}{2}.A_{1 }D = \frac{\sqrt{21}}{24}.l^{3}[/tex]
[tex]V_{ост } = V_{ABCD } - V_{DA_{1 }PQ } = \frac{\sqrt{21}}{27}l^{3} - \frac{\sqrt{21}}{24}.l^{3} = \frac{23\sqrt{21}}{216}.l^{3}[/tex]
[tex]\frac{V_{DA_{1 }PQ }}{V_{ост. }} = \frac{\frac{l^{3}\sqrt{21}}{24}}{\frac{l^{3}.23\sqrt{21}}{216}} = \frac{9}{23}[/tex]

[ptj]

Задачата е лесна, но се изисква малко по-добро пространствено въображение.

Нека построим през [tex]BC[/tex] равнина перпендикулярна на ръба [tex]AD[/tex], а пресечената им точка означим с [tex]К[/tex].

[S.B.]

Задачата е лесна, но се изисква малко по-добро пространствено въображение.

Нека построим през [tex]BC[/tex] равнина перпендикулярна на ръба [tex]AD[/tex], а пресечената им точка означим с [tex]К[/tex].

...а после,през т. $A_{1 }$ да построим равнина успоредна на $(BCK)$ ,която да пресече апотемата $DN$ в точка $M$,така,че [tex]\frac{DM}{DN} = \frac{3}{4}[/tex] ? Или пропускам нещо ?Защото задачата наистина е елементарна - построяване на една равнина "по учебник", останалото са "литературни цитати"...

[ptj]

Задачата е лесна, но се изисква малко по-добро пространствено въображение.

Нека построим през [tex]BC[/tex] равнина перпендикулярна на ръба [tex]AD[/tex], а пресечената им точка означим с [tex]К[/tex].

От [tex](A_1PQ) \parallel (BCK)[/tex] следва (теорема на Талес) , че двете пирамиди [tex]DA_1PQ[/tex] и [tex]DKBC[/tex] са "подобни", т.е. техните линейни елементи (ръбове, височини, апотеми и т.н.) са в едно и също съотнощение ([tex]DM:MN=3:4[/tex]).

Тогава [tex]V_{DA_1PQ}:V_{DKBC}=3^3:4^3=27:64[/tex].

[tex]DA_1:DK=DM:DN=3:4[/tex]
[tex]DA_1=\frac{1}{2}DA[/tex]
сл. [tex]DA=\frac{3}{2}DK \Rightarrow S_{KDB}:S_{ADB}=2:3 \Rightarrow V_{KDBC}:V_{ABDC}=2:3[/tex]

[tex]V_{DA_1PQ}:V_{DABC}=\frac{27}{64}.\frac{2}{3}=9:32[/tex]

T.e. равнината [tex](A_1PQ)[/tex] дели обема на тетраедъра [tex]ABCD[/tex] в съотношение [tex]9:23[/tex].

[S.B.]

Поздравлявам ptj за решението!То е чудесно ,но има една малка подробност - задачата е предназначена за кандидат студенти, а в обикновените училища не се изучават подобни пирамиди нито свойствата им.Може би в математическите гимназии се изучават,но не и в масовите училища.

[S.B.]

Задачата е лесна, но се изисква малко по-добро пространствено въображение.

Нека построим през [tex]BC[/tex] равнина перпендикулярна на ръба [tex]AD[/tex], а пресечената им точка означим с [tex]К[/tex].

От [tex](A_1PQ) \parallel (BCK)[/tex] следва (теорема на Талес) , че двете пирамиди [tex]DA_1PQ[/tex] и [tex]DKBC[/tex] са "подобни"[/tex].

Уважаеми колега ptj,никъде в условието на задачата не се говори за равнината $(A_{1 }PQ)$, която Вие използвате в решението си.Преди да разсъждавате върху "пространственото ми въображение" ,би трябвало да си направите труда и да опишете построението на равнината $(A_{1 }PQ)$ , а не да използвате на готово резултата от построението,което аз съм направила в моето решение на задачата и което е задължително.Разбира се бихте могли да го направите ,но за целта беше необходимо да заявите,че ще използвате резултат и чертеж от моето решение,каквито са неписаните закони за колегиалност в този форум.Но явно Вие и Вашият колегиален морал стоят над тези "дреболии".Освен това Вашето решение не може да претендира за пълнота(въпреки пространственото Ви въображение!),тъй като не само не сте описали построението на сечението,което е абсолютно задължително ,но не сте решили и онази част от задачата,в която се търси обема на цялата пирамида.Всъщност вашето решение е $\frac{1}{3}$ от от решението на задачата,като при това използвате резултат от чуждо решение,което на всичко отгоре критикувате и обвинявате автора му в липса на пространствено въображение.
Честита Нова година!