Разходка и за кандидат студентите...

[S.B.]

Дадено е уравнението:
[tex](x + a)b^{1 -\vert x - 1 \vert} - x = (x - c)\vert b^{x} - 1\vert + b^{x + 1} + 1[/tex],
където $a$ и $b$ са съответно първия член и частното на геометричната прогресия,за която:
[tex]\begin{array}{|l} a_{5 } - a_{3 } = 288 \\ a_{6 } - a_{4 } = 864 \end{array}[/tex]
а $c$ е равно на локалния минимум на функцията:
[tex]f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 21[/tex]
Намерете $a , b $ и $c$ и за получените им стойности решете даденото уравнение.

[S.B.]

Дадено е уравнението:
[tex](x + a)b^{1 -\vert x - 1 \vert} - x = (x - c)\vert b^{x} - 1\vert + b^{x + 1} + 1[/tex],
където $a$ и $b$ са съответно първия член и частното на геометричната прогресия,за която:
[tex]\begin{array}{|l} a_{5 } - a_{3 } = 288 \\ a_{6 } - a_{4 } = 864 \end{array}[/tex]
а $c$ е равно на локалния минимум на функцията:
[tex]f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 21[/tex]
Намерете $a , b $ и $c$ и за получените им стойности решете даденото уравнение.

Задачата е хубава и не заслужава да бъде класифицирана като "Задача без отговор"!Тя очаква някой да и обърне внимание от 07.01.2019 г....
Ето моето решение:
1) [tex]\begin{array}{|l} a_{5 } - a_{3 } = 288 \\a_{6 } - a_{4 } = 864 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a.b^{4} - a.b^{2} = 288\\a.b^{5} - a.b^{3} = 864\end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a.b^{2}(b^{2} - 1) = 288 \\ a.b^{3}(b^{2} - 1) = 864 \end{array}[/tex]

[tex]\frac{a.b^{2}(b^{2} - 1)}{a.b^{3}(b^{2} - 1)} = \frac{288}{864} \Leftrightarrow \frac{1}{b} = \frac{1}{3} \Rightarrow b = 3[/tex] ,респективно $a = 4$

2) [tex]f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 21 , f'(x) = 6x^{2} - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2)[/tex]
От $f'(x) \ge 0 $ намираме ,че за $x \in (-\infty , -1)$ функцията расте, за $x \in (-1,2)$ намалява и за $x\in (2 , +\infty)$ отново расте,
за $x = - 1$ има локален максимум , а за $x = 2$ - локален минимум
$c = f_{min }(x) = f(2) = 1$
За така намерените стойности $a = 4 , b = 3 ,c = 1$
уравнението:
[tex](x + a)b^{1 - |x - 1|} - x = (x - c).|b^{x} - 1| + b^{x + 1} + 1[/tex]
добива вида:
$(x + 4).3^{1 - | x - 1|} - x = (x + 1).|3^{x} - 1| + 3^{x + 1} + 1 $
Д.М. $x\in (- \infty , + \infty)$ се разделя на 3 подмножества: ДМ1: $x \in ( - \infty, 0] $ , ДМ2 : $x \in (0,1)$ и ДМ3: $ x \in [1,+\infty)$
ДМ1: $x \le 0$ : $x - 1 < 0 , 3^{x} - 1 < 0$
[tex](x + 4) .3^{1 + x - 1} - x = -(x + 1)( 3^{x} - 1) + 3^{x + 1} + 1[/tex] след преобразуване [tex]\Leftrightarrow (x + 1)(3^{x} - 1) = 0[/tex]
С корени $x_{1 } = -1 \in $ ДМ1 и $x_{2 } = 0 \in $ ДМ1
ДМ2: $x \in (0,1)$ , $x - 1<0 ,3^{x} - 1 > 0 $
$(x + 4).3^{1 + x - 1} - x = (x + 1)(3^{x} - 1) + 3^{x + 1} + 1$ , след преобразуване $\Leftrightarrow x.3^{x} + 4.3^{x} = x.3^{x} + 4.3^{x}$
С корени $\forall x \in (0 , 1)$
ДМ3: $x\ge 1$ , $ 3^{x} - 1 > 0 , x - 1 > 0$
$(x + 4).3^{1 - x + 1} - x = (x + 1)(3^{x} - 1) + 3^{x + 1} + 1$ след преобразуване $ \Leftrightarrow (x + 4)(3^{2 - x} - 3^{x}) = 0 $
$x + 4 $ е различно от $0$ в ДМ3 $ \Rightarrow 3^{2 - x} - 3^{x} = 0 \Leftrightarrow 2 - x = x \Rightarrow x = 1$
Окончателно решенията са : $x = -1 \cup x\in [0 , 1]$