Обем "две в едно" !

[S.B.]

Две правилни четириъгълни пирамиди имат обща височина, равна на $H$.Върхът на всяка от тях лежи в центъра на основата на другата.Околните ръбове на едната пресичат околните ръбове на другата.Околния ръб на едната образува с височината ъгъл равен на [tex]\alpha[/tex] , а околния ръб на другата образува с височината ъгъл равен на $\beta$.Определете обема на общата част на двете пирамиди.

[ptj]

Половинката диагонали в двете основи са съответно [tex]d_1=h.tg(\alpha)[/tex] и [tex]d_2=h.tg(\beta)[/tex].

Нека половинката диагонал в сечението, съдържащо пресечените точки на двете пирамиди е [tex]x[/tex].

[tex]h=x.cotg(\alpha)+x.cotg(\beta)[/tex].

[tex]x:d_1=\frac{tg(\alpha)}{cotg(\alpha)+cotg(\beta)}\Rightarrow V':V=\frac{tg^3(\alpha)}{(ctg(\alpha)+ctg(\beta))^3}[/tex] (подобие)

[tex]x:d_2=\frac{tg(\beta)}{cotg(\alpha)+cotg(\beta)}\Rightarrow V":V=\frac{tg^3(\beta)}{(ctg(\alpha)+ctg(\beta))^3}[/tex] (подобие)

[tex](V'+V"):V=\frac{tg^3(\alpha)+tg^3(\beta)}{(ctg(\alpha)+ctg(\beta))^3}[/tex]