Система дадена в гр.Варна

[Евва]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2} + хy +2у^{2}= 2 \\ 3x^{2}+2xy+у^{2} = 2 \end{array}[/tex]

Отг.: ([tex]\frac{\sqrt{22}}{11}[/tex];[tex]\frac{2\sqrt{22}}{11}[/tex]) ; (-[tex]\frac{\sqrt{22}}{11}[/tex];-[tex]\frac{2\sqrt{22}}{11}[/tex]) ; (1;-1) ; (-1;1)

[S.B.]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2} + xy + 2y^{2} = 2\\ 3x^{2} + 2xy + y^{2} = 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y^{2}(\displaystyle\frac{x^{2}}{y^{2}} + \displaystyle \frac{x}{y} + 2) = 2 \\ y^{2}(3\displaystyle \frac{x^{2}}{y^{2}}+ 2\displaystyle \frac{x}{y} + 1) = 2\end{array}[/tex]
Полагам $\frac{x}{y} = k$ и деля почленно двете уравнения :$\frac{x^{2} + k + 2}{3k^{2} + 2k + 1} = 1 \Leftrightarrow$
$ 2k^{2} + k - 1 = 0$ с корени $k_{1 } = -1 , k_{2 } = \frac{1}{2}$
За $ k =\frac{x}{y} = -1 $ : [tex]\begin{array}{|l} x = - y \\ x^{2} + xy + 2y^{2} \end{array} \Leftrightarrow y^{2} = 1 ,y_{1,2 } = \pm1 ,x_{1,2 } = \mp 1[/tex]
Получавам $(1 , -1)$ и $(- 1,1)$
Зa $ k = \frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ :[tex]\begin{array}{|l} 2x = y \\ x^{2} +xy + 2y^{2} = 2 \end{array} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{2}{11} , x_{1 , 2 } = \pm \frac{\sqrt{22}}{11} ; y_{1 , 2 } = \pm \frac{2\sqrt{22}}{11}[/tex]
Получавам :$(\frac{\sqrt{22}}{11} , \frac{2\sqrt{22}}{11} ) ; (\frac{- \sqrt{22}}{11} , \frac{-2\sqrt{22}}{11} )$

[Nathi123]

Изваждаме почленно от второто първото уравнение на системата,получаваме[tex]2x^{2}+xy-y^{2} =0 \Rightarrow D_{x } =9y^{2}\Rightarrow[/tex]
[tex]x=-y\cup x=\frac{y}{2}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x =-y \\ x^{2}+xy+2y^{2} =2\end{array} \cup\begin{array}{|l} x=\frac{y}{2}\\ x^{2}+xy+2y^{2} =2\end{array}[/tex]
[tex](1,1);(-1,1) ;(\frac{\sqrt{22}}{11},\frac{2\sqrt{22}}{11});(-\frac{\sqrt{22}}{11},-\frac{2\sqrt{22}}{11})[/tex].

[Gruicho]

То във Варна само такива системи могат да дават