Екстремални задачи

[xhister]

Здравейте на всички, подготвям се за кандидатстване и за тази цел решавам задачи от сборника на Коларов по Геометрия 2-ра част, но имам проблем с три задачи от сборника, за които не мога да се сетя как да ги реша или дори да тръгна по някакъв път на решаване.

1) От всички правоъгълни триъгълници описано около дадена окръжност (с радиус r), да се намери този, за който:
а)периметърът е най-малък
б)лицето е най-малко
Отг.: а), б) Равнобедреният

2) От всички триъгълници с даден периметър да се намери този, който има най-голямо лице.
Отг.: Равностранният

3) От всички триъгълници с дадено лице да се намери този, който има най-малък периметър
Отг.: Равностранният

[Knowledge Greedy]

1а)
[tex]2p=a+b+c=a+b+\sqrt{a^2+b^2}\ge a+b+\frac{a+b}{\sqrt{2}}^*[/tex]
Дотук [tex]2p \ge (a+b)\left (1+\frac{1}{\sqrt{2}} \right )[/tex]
Последното е еквивалентно (–след рационализиране) на
[tex]2p\ge (2+\sqrt{2})\frac{a+b}{2}[/tex]
и
[tex]2p\ge (2+\sqrt{2})\sqrt{ab} \,\ ^{**}[/tex]
Но [tex]ab=2S[/tex], следователно [tex]4p^2\ge (2+\sqrt{2})^22S[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \,\ 2p^2\ge (2+\sqrt{2})^2pr[/tex]
и, след съкращаване
[tex]p \ge (3+2\sqrt{2})r[/tex]
Равенство се достига (съгласно ^* и [tex]^{**}[/tex]) само и единствено за равнобедрен триъгълник.

1б) Свързваме лицето и периметъра.
[tex]S=pr[/tex]
Ясно е, че решавайки а), ще получим и решението на б), защото периметърът и лицето са пропорционални.

За решаването на 2. е достатъчно да използваме хероновата формула и [tex]^{***}[/tex]
с полагането [tex]\begin{array}{|l} p-a = x \\ p-b = y \\ p-c=z \end{array}[/tex]

Задача 3. Решението - също с [tex]^{***}[/tex], но с обръщане на посоката.

____________________
* Следва от неравенството между средно квадратично и средно аритметично СА-СКв
[tex]\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \frac{a+b}{2}[/tex]
____________________
[tex]^{**}[/tex]Следва от неравенството между средно геометрично и средно аритметично СГ-СА
[tex]\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}[/tex]
____________________
[tex]^{***}[/tex]
Средно геометрично и средно аритметично за три неотрицателни величини.
[tex]\sqrt[3]{xyz}\le \frac{x+y+z}{3}[/tex] Равенството е възможно само при [tex]x=y=z[/tex]

[Knowledge Greedy]

1а)
[tex]2p=a+b+c=a+b+\sqrt{a^2+b^2}\ge a+b+\frac{a+b}{\sqrt{2}}^*[/tex]
Дотук [tex]2p \ge (a+b)\left (1+\frac{1}{\sqrt{2}} \right )[/tex]
Последното е еквивалентно (–след рационализиране) на
[tex]2p\ge (2+\sqrt{2})\frac{a+b}{2}[/tex]
и
[tex]2p\ge (2+\sqrt{2})\sqrt{ab} \,\ ^{**}[/tex]
Но [tex]ab=2S[/tex], следователно [tex]4p^2\ge (2+\sqrt{2})^22S[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \,\ 2p^2\ge (2+\sqrt{2})^2pr[/tex]
и, след съкращаване
[tex]p \ge (3+2\sqrt{2})r[/tex]
Равенство се достига (съгласно ^* и [tex]^{**}[/tex]) само и единствено за равнобедрен триъгълник.

1б) Свързваме лицето и периметъра.
[tex]S=pr[/tex]
Ясно е, че решавайки а), ще получим и решението на б), защото периметърът и лицето са пропорционални.

За решаването на 2. е достатъчно да използваме хероновата формула и [tex]^{***}[/tex]
с полагането [tex]\begin{array}{|l} p-a = x \\ p-b = y \\ p-c=z \end{array}[/tex]

____________________
* Следва от неравенството между средно квадратично и средно аритметично СА-СКв
[tex]\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \frac{a+b}{2}[/tex]
____________________
[tex]^{**}[/tex]Следва от неравенството между средно геометрично и средно аритметично СГ-СА
[tex]\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}[/tex]
____________________
[tex]^{***}[/tex]
Средно геометрично и средно аритметично за три неотрицателни величини.
[tex]\sqrt[3]{xyz}\le \frac{x+y+z}{3}[/tex] Равенството е възможно само при [tex]x=y=z[/tex]

[xhister]

Благодаря за оказаната помощ !