Конкурс УНСС - София 2000 г.,зад.4

[S.B.]

Дадена е пирамида $SABC$ с основа триъгълникът $ABC$.Точките $E$ и $D$ лежат съответно на ръбовете $SA$ и $SB$,
при това $SE : EA = SD : DB = 1 : 2$ През точките $E$ и $D$ е прекарана равнина,успоредна на ръба $SC$.
В какво отношение тази равнина дели обема на пирамидата?
Отговор : $20 : 7 $

[KOPMOPAH]

УНСС-2000.png (9.88 KiB) Прегледано 439 пъти

Бих решил задачата така:

- построявам равнина, успоредна на $(ABC)$ през точките $D$ и $E$. Тя пресича $SC$ в т.$H$. Обемът на малката пирамида $DEHS$ е $\frac 1{27}V_{ABCS}$, ясно защо (на изпита бих обяснявал надълго и на широко, или както вече се пише н.изп.б.о.над.и.наш.)
- призмата $FGCEDH$ (ясно защо е призма, н.изп.б.о.над.и.наш. ) има два пъти по-голяма височина от малката пирамида $DEHS$, а лицето на основата й е същото като на малката пирамида, следователно обемът й е $6$ пъти по-голям, $V_{FGCEDH}=\frac 6{27}V_{ABCS}$
- обемът на едно от телата, за които се пита в задачата, е $V_{DEHS}+V_{FGCEDH}=\frac 7{27}V_{ABCS}$, значи на другото е $\frac {20}{27}V_{ABCS}$

Окончателно получаваме отношението $20:7$

Скрит текст: покажи

Бих добавил, че за чертежи като този (а и доста по-сложни), възможностите на GeoGebra са достатъчни. Не бих я нарекъл недодялана. На желаещите и любознателните бих показал и други нейни лайфхакове