Ромб

[S.B.]

Даден е ромб $ABCD$ със страна $a$.Нека точка $M$ е среда на страната [tex]DC , \angle AMB = \gamma[/tex]. Да се намери лицето на ромба.

[Davids]

Ще означим $AM = x$, $BM = y$, $\angle BAD = \angle BCD = \alpha$. Тогава от две косинусови теореми за $\triangle AMD$ и $\triangle BCM$ следва:
[tex]\begin{array}{|l} x^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} - 2.a.\frac{a}{2}.cos(180^{\circ} - \alpha) \\ y^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} - 2.a.\frac{a}{2}.cos(\alpha) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^2 = \frac{5a^2}{4} + a^2cos\alpha \\ y^2= \frac{5a^2}{4} - a^2cos\alpha \end{array}[/tex]

Тогава $x^2 + y^2 = \frac{5}{2}a^2$. Именно това ще използваме и в косинусова теорема за $\triangle ABM$:
$a^2 = x^2 + y^2 - 2xycos\gamma = \frac{5}{2}a^2 - 2xycos\gamma$
$\Rightarrow xy = \frac{3a^2}{4cos\gamma}$

Защо ни трябваше това? Ами по определение лицето на ромба е $S_{ABCD} = ah$, докато $S_{\triangle ABM} = \frac{ah}{2} \Rightarrow S_{ABCD} = 2S_{ABM}$. Но $S_{ABM} = \frac{xysin\gamma}{2}$

$\Rightarrow S_{ABCD} = xysin\gamma = \frac{3}{4}a^2tg\gamma$