Конкурс 1989 г. зад.2

[S.B.]

В окръжност $k$ е вписан [tex]\triangle ABC[/tex] такъв,че $\angle ACB = 30^\circ$. Окръжност $k_{1 }$ с център $O$ , лежащ върху $k$ минава през $A$ и $C$ и пресича правата $AB$ в точка $Q$ такава,че точката $A$ е между $Q$ и $B$ и $QB = \sqrt{3}AB$ .Да се намерят:
а) мерките на ъглите на $\triangle ABC$;
б) Лицето на $\triangle ABC$ , ако е известно,че ъглополовящата на $\angle ABC$ и ма дължина $l$.

[Davids]

received_405567583341243.png (116.58 KiB) Прегледано 502 пъти

Центъра на $k$ съм забравил да означа с $O_1$, въвеждаме също $AB = c$.
Така, понеже $O$ лежи на симетралата на $AC$, то $BO$ е ъглополовящата на $\angle ABC$. Паралелно с това $\angle AOB = \angle ACB = 30°$ и $DO = AO = R_1$ ще е радиусът на втората окръжност. Но $ \angle ADO = \angle DAO = \angle ABO + \angle AOB = 30° + \frac{\beta}{2} \Rightarrow \angle AOD = 120° - \beta \Rightarrow \angle DOB = 150° - \beta$.
Така от две синусови теореми за $\triangle AOB$ и $\triangle DOB$ имаме:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{c}{sin30°} = \frac{R_1}{sin\frac{\beta}{2}} \\ \frac{\sqrt{3}c}{sin(150°-\beta)} = \frac{R_1}{sin\frac{\beta}{2}} \end{array}[/tex]

Десните страни са равни, приравняваме и левите, съкращаваме $c$ и получаваме:
$sin(150° - \beta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
От което получаваме два случая:
I) $\beta = 30° \Rightarrow \alpha = 120°$
II) $\beta = 90° \Rightarrow \alpha = 60°$

б) ще разгледаме двата случая:
II) в случая търсим лицето чрез ъглополовящата към хипотенузата в правоъгълен тр-к с ъгли 30°, 60° и 90°.
Спрямо означенията на чертежа, лицето ще е равно на $S_{ABC} = \frac{ac}{2}$. От две синусови теореми намираме:
$a = \frac{lsin105°}{sin30°}$
$c = \frac{lsin75°}{sin60°}$

Ако не ме бъркат сметките, би трябвало да се получава $\boxed{S = \frac{\sqrt{3}}{6}(2 + \sqrt{3})l^2}$

I)
В първия случай използваме същата схема, само че с формулата $S = \frac{acsin30°}{2}$.
Аналогично получаваме $a = \frac{lsin135°}{sin30°}$ и $c = \frac{lsin45°}{sin120°}$. Отново, ако не ме лъжат сметките, получаваме $\boxed{S = \frac{\sqrt{3}}{6}l^2}$