Геометрична задача

[Daskal Botio]

Здравейте, затруднявам се със следната задача и ще съм много благодарен ако ми помогнете.

Даден е равнобедрен триъгълник с дадени r = 3/2 и R = 25/8 . Търсят се страните на триъгълника.

[S.B.]

Без заглавие (8).png (163.67 KiB) Прегледано 576 пъти

Даден е равнобедрен триъгълник с дадени r = 3/2 и R = 25/8 . Търсят се страните на триъгълника.

На чертежа :[tex]\angle A = \gamma , \angle HAO = \frac{\gamma}{2} ,AH = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2} , \angle C = (\pi - 2\gamma),OH = r = \frac{3}{2}[/tex]
От [tex]\triangle AHO : \frac{AH}{OH} = cotg\frac{\gamma}{2} \Rightarrow AH = r.cotg\frac{\gamma}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{2} = \frac{3}{2}cotg\frac{\gamma}{2} \Rightarrow a = 3cotg\frac{\gamma}{2}[/tex]
Прилагам синусова теорема:[tex]\displaystyle \frac{AB}{sin\angle C} = 2R \Leftrightarrow\displaystyle \frac{a}{sin(\pi - 2\gamma)} =\displaystyle \frac{25}{4} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{a}{sin2\gamma} = \frac{25}{4}\Rightarrow \displaystyle \frac{3cotg\displaystyle \frac{\gamma}{2}}{sin2\gamma} =\displaystyle \frac{25}{4}[/tex]
Получи се тригонометричното уравнение:[tex]\displaystyle \frac{3cotg\displaystyle \frac{\gamma}{2}}{sin2\gamma} = \displaystyle \frac{25}{4}[/tex]
След преработка получаваш : [tex]cos\frac{\gamma}{2}(25sin^{2}\frac{\gamma}{2}.cos\gamma - 3) = 0[/tex]
$cos\frac{\gamma}{2} \ne 0 \Rightarrow 25sin^{2}\frac{\gamma}{2}.cos\gamma - 3 = 0 \Leftrightarrow 25cos^{2}\gamma - 25cos\gamma +6 = 0$ с корени $cos\gamma = \frac{2}{5}$ и $cos\gamma = \frac{3}{5}$
Намираш по формулите $ sin\frac{\gamma}{2} = \frac{1 -cos\gamma}{2} , cos\frac{\gamma}{2} = \frac{1 + cos\gamma}{2}$ съответните $cotg\frac{\gamma}{2}$ и от $a = 3cotg\frac{\gamma}{2}$ получаваш осноовата;Прилагаш косинусова теорема и намираш бедрото.
Извинявай за съкращението,но решението на тригонометричното уравнение е твърде дълго нямам време да го набера

[Davids]

Поглеждайки даденото и числените стойности, веднага се сетих за следния метод на решение. Въвеждаме центъра и на описаната окръжност, да кажем точка $I$ (тогава $R = CI = \frac{25}{8}$), и ще си служим с разстоянието между двата центъра по Ойлеровата формула $OI = p = \sqrt{R(R - 2r)} = \sqrt{\frac{25}{8}(\frac{25}{8} - 3)} = ... = \frac{5}{8}$. За целта разглеждаме два случая:

а) когато $I$ е между $C$ и $O$, тогава височината към основата $CH = h = r + R + p$
б) когато $O$ е между $I$ и $C$, тогава $h = r + R - p$.

Ще разгледам само първия случай, във втория всичко е аналогично.

Хващаме $h = \frac{3}{2} + \frac{25}{8} + \frac{5}{8} = \frac{21}{4}$, тогава $OC = h - r = \frac{15}{4}$.
Оттам по означенията на @S.B. и свойство на ъглополовящата за $\triangle AHC$ имаме $cos\gamma = \frac{a}{2b} = \frac{r}{h - r} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{15}{4}} = \frac{6}{15}$.
Оттам имаме $\frac{a}{b} = \frac{12}{15}$ и с още една питагорова теорема от същия триъгълник достигаме до $b^2 = a^2 + h^2$. Решаваме системата и намираме страните.
Абсолютно аналогично и във втория случай получаваме $h = 4 \Rightarrow h - r = \frac{5}{2}$ и $\frac{a}{b} = \frac{6}{5}$. Нататък е същото