Кълба вписани в конус

[S.B.]

В прав кръгов конус,на който образувателната сключва с основата му ъгъл [tex]\alpha[/tex] и има радиус $R$ ,са вписани кълба,така,че първото кълбо се допира до основата на конуса и до образувателните му,а всяко следващо - до предхождащото го и до образувателните на конуса.Определете сумата от обемите на тези кълба.

[Davids]

Cone.png (138.13 KiB) Прегледано 498 пъти

Взимаме първо най-голямото кълбо. По определението за тангенс определяме:
- радиуса му $r = Rtg\frac{\alpha}{2}$
- височината на конуса $h = Rtg\alpha$.

Пренасяме се на горното кълбо, където взимаме по-малък, подобен на $\triangle ABC$ триъгълник, като коефициентът на подобие ще е:
$k = \frac{h_1}{h} = \frac{h - 2r}{h} = \frac{R(tg\alpha - 2tg\frac{\alpha}{2})}{tg\alpha} = 1 - \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 - tg^2\frac{\alpha}{2}}} = 1 - (1 - tg^2\frac{\alpha}{2}) = tg^2\frac{\alpha}{2}$

Същият коефициент на подобие се запазва и нагоре по верижката. Следователно имаме геометрична прогресия радиуси с първи член $r_1 = Rtg\frac{\alpha}{2}$ и частно $q = tg^2\frac{\alpha}{2}$.
Което ни дава редицата обеми:
$V_1 = \frac{4}{2}\pi r_1^3 = \frac{4}{3}\pi R^3tg^3\frac{\alpha}{2}$
$q = tg^6\frac{\alpha}{2}$

Сумата на тази безкрайно малка геометрична прогресия е $\boxed{S = \frac{V_1}{1 - q} = \frac{4\pi R^3tg^3\frac{\alpha}{2}}{3(1 - tg^6\frac{\alpha}{2})}}$