ТУ предварителен изпит 2019

[nenam]

Може ли някой да помогне при решаването на Зад. 2 от предварителен изпит в ТУ, 30.03.2019 г. Условието е:
Ако x^2 + 4y^2 + 2x – 4y + 2 = 0, то стойността на xy e:
a) – 1/2; б) 0; в) 1/2; г) 1; д) 2.

[KOPMOPAH]

$$x^2 + 4y^2 + 2x – 4y + 2 = x^2+2x+1+4y^2- 4y+1=(x+1)^2+(2y-1)^2=0$$Всеки от изразите в скобите трябва да е равен на $0$, значи $x=-1$, $y=\frac 12$ и $xy=\cdots$

[Добромир Глухаров]

Аз не се сетих за това, което е написал КОРМОРАН и което си е меродавното решение, но разсъждавах така:

$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2\Rightarrow x^2+4y^2=(x-2y)^2+4xy$

$(x-2y)^2+4xy+2(x-2y)+2=0$

$(x-2y)^2+2(x-2y)+1+4xy+1=0$

$(x-2y+1)^2+4xy+1=0$

$4xy+1\leq0$

$xy\leq-\frac{1}{4}$

Следователно единственият възможен отговор е а) $-\frac{1}{2}$ - разбира се, тук имах късмет .