Пирамида описана около конус

[S.B.]

Пирамида описана около конус

Без заглавие (27).png (285.26 KiB) Прегледано 545 пъти

Образувателната на прав кръгов конус е равна на $l$ и е наклонена към равнината на основата под ъгъл [tex]\alpha[/tex].Около конуса е описана пирамида ,чиято основа е правоъгълен триъгълник с остър ъгъл равен на $\beta$.Определете околната повърхнина и обема на пирамидата.

[Davids]

По определение за синус и косинус от $\triangle KOM$ изразяваме:
$h = lsin\alpha$
$r = lcos\alpha$

Но за радиуса на вписана в правоъгълен триъгълник окръжност, знаем, че $r = \frac{a + b - c}{2}$.
Знаейки, че $a = ccos\beta; b = csin\beta$, то значи:
$r = lcos\alpha = \frac{c}{2}(sin\beta + cos\beta - 1)$

Оттам $c = \frac{2lcos\alpha}{sin\beta + cos\beta - 1}$

С цел опростяване на отговорите и понеже ме мързи да пиша, ще приемаме $c$ за намерено и ще го третираме като дадено

Лицето на околната повърхнина е равно на $S = (a + b + c).\frac{l}{2} = \frac{cl}{2}(sin\beta + cos\beta + 1)$

Лицето на основата е $B = \frac{ab}{2} = \frac{c^2}{2}sin\beta cos\beta = \frac{1}{4}c^2sin2\beta$ и оттам обемът е:
$V = \frac{Bh}{3} = \frac{1}{12}lc^2sin\alpha sin2\beta$

Скрит текст: покажи

И все пак, за прилежност, ще заместим $c$:
$S = l^2cos\alpha.\frac{sin\beta + cos\beta + 1}{sin\beta + cos\beta - 1}$
$V = \frac{1}{12}l.\frac{4l^2cos^2\alpha}{(sin\beta + cos\beta - 1)^2}.sin\alpha sin2\beta = \frac{l^3cos\alpha sin2\alpha sin2\beta}{6(sin\beta + cos\beta - 1)^2}$