Вероятост

[inveidar]

Каква е вероятността, ако разделим класа на Иванчо и Марийка, в който има 26 ученици, на две групи от по 11 и 15 ученици, те да са заедно в една от групите?

[inveidar]

Отговорът е 32/65.

[pal702004]

$1-\dfrac{C_2^1\cdot C_{24}^{10}}{C_{26}^{11}}=1-2\cdot\dfrac{\frac{24!}{10!14!}}{\frac{26!}{11!15!}}=1-2\cdot\frac{11\cdot 15}{25\cdot 26}=\dfrac{32}{65}$

[Петър Евгениев]

$1-\dfrac{C_2^1\cdot C_{24}^{10}}{C_{26}^{11}}=1-2\cdot\dfrac{\frac{24!}{10!14!}}{\frac{26!}{11!15!}}=1-2\cdot\frac{11\cdot 15}{25\cdot 26}=\dfrac{32}{65}$

Наистина, ако [tex]A[/tex] е събитието, при което Иванчо и Марийка са заедно в една от двете групи, то по-лесно се намира вероятността за събитието [tex]\overline{A}[/tex]. Събитието, при което Иванчо и Марийка не са заедно в една от двете групи.
Трябва да изберем Иванчо или Марийка и да го "причислим" съм една от двете групи: [tex]C_{2}^{1}\cdot C_{24}^{10}[/tex] Като имаме:
[tex]{24 \choose 10}[/tex] тъй като трябва да изберем останалите 10 от групата(тъй като Иванчо или Марийка вече са в нея) от другите 24 ученици.
Като спокойно може да се каже и [tex]C_{2}^{1}\cdot C_{24}^{14}[/tex] като и двете са верни(тъй като когато наредим едната група, другата автоматично се нарежда, защото сумата на двете групи е всичко от което избираме. Известно още като:
[tex]{n \choose n-k} = {n \choose k}[/tex]. И така за вероятността:
$$P(\overline{A})=\frac{ C_{2}^{1}\cdot C_{24}^{10}}{C_{26}^{11}}=\frac{C_{2}^{1}\cdot C_{24}^{14}}{C_{24}^{15}}$$
Другото го написа pal.

Призовавам за повече подобни задачки във форума. Някак остава настрана комбинаториката, теорията на вероятностите, а само рутинни геометрични задачи, уравнения и неравенства виждам. Което няма нищо лошо, но малко разнообразие няма да навреди.

[grav]

Призовавам за повече подобни задачки във форума. Някак остава настрана комбинаториката, теорията на вероятностите, а само рутинни геометрични задачи, уравнения и неравенства виждам. Което няма нищо лошо, но малко разнообразие няма да навреди.

Тази също е стандартна и рутинна. На запад даже учениците, които имат проблем с математиката, нямат проблем с подобни задачи. Дори имат готови рецепти как се решават унагледени с дърво.

[tex]\frac{11}{26}\cdot\frac{10}{25}+\frac{15}{26}\cdot\frac{14}{25}=\frac{32}{65}[/tex]

https://www.mathsisfun.com/data/probability-tree-diagrams.html

[Петър Евгениев]

Тази също е стандартна и рутинна. На запад даже учениците, които имат проблем с математиката, нямат проблем с подобни задачи. Дори имат готови рецепти как се решават унагледени с дърво.

Влез в 2-3 училища, в които не се изучава математика с профил.Дай една задачка две на произволно избрани ученици и виж какви дървета ще ти дадат. И ще си поговорим пак за рутинни задачи. Хаха.

[grav]

Влез в 2-3 училища, в които не се изучава математика с профил.Дай една задачка две на произволно избрани ученици и виж какви дървета ще ти дадат. И ще си поговорим пак за рутинни задачи. Хаха.

Казах, че така е на запад. Дори и в училища, в които нивото на математиката и на учениците е много по-ниско от колкото е у нас. Ученици, които не могат да решават квадратни уравнение (дори никога не са виждали формулата за решенията) се справят с такива задачи.

Отставяки това на страна кажи какаво е мението ти. Ако на ученик се покажат няколко примера, като тези от линка, ще се справя ли с тези задачи? По мои наблюдения голяма част от учаниците изпитват огромни трудности с всякакви, дори и елементарни, комбинаторни разсъждения.

[Петър Евгениев]

Отставяки това на страна кажи какаво е мението ти. Ако на ученик се покажат няколко примера, като тези от линка, ще се справя ли с тези задачи? По мои наблюдения голяма част от учаниците изпитват огромни трудности с всякакви, дори и елементарни, комбинаторни разсъждения.

Oоо, да. Моите наблюдения са същите. Най-трудното от всичко им е комбинаториката, броене и следователно теория на вероятностите, защото иначе имат формула цък-цък заместват и готово. А това понеже за повечето трябва да помислят ич няма да ги навиеш да пробват след като прочетат условието се отказват директно.

И да, ако се показват примерите както в линка, който си дал ще е по-добре. Защото, когато аз учих комбинаторика в 10-ти клас(по-миналата година) в учебника на Анубис, толкова сухо, толкова да не кажа силна дума, но ужасно за един ученик. И говорим сухо, защото няма един гол пример дали са ето те' това' е формулата за пермутация, вариация, комбинация и това е.
В контраст сега с новата учебна програма МОН е заложено от 6-7 клас най-елементарните задачи без никаква теория чисто примерно. И вече 8-9 клас слагат теория малко и показват примери, защо правилото за умножение работи(дървета), което е много по-добре.
Освен това в новите уроци за 8 клас по комбинаторика(Анубис пак мисля беше учебника) има доста решени задачи.

[Genie_Almo]

Съгласен съм с общите констатации дотук и даже бих добавил, че комбинаториката и теория на вероятностите малко се пренебрегват дори и в този форум. Тук се публикуват редица достойни задачи по темата, които за съжаление така и не получават своя достоен отговор. Сред „пренебрегващите“ хора поставям и себе си в това число, тъй като някои от задачите успявам да реша, но така и ме домързява да опиша решенията тук. Е, как очакваме тогава младите да се справят добре, като нас ни мързи да им предадем скромния си опит, а вместо това ги упрекваме, че били много тъпи, не обичали да мислят и т.н. ?
И за да поправя отчасти тази несправедливост, веднага ще предложа втори подход към тази задача. Нека приемем, че Иванчо и Марийка са неделим елемент и търсим броя начини да попаднат в един клас заедно с още 9 ученика или в друг клас заедно с още 13. Така погледнато, общия брой на двата класа комбинации изглежда вече съвсем лесен за намиране:

[tex]{24 \choose 9} + {24 \choose 13}[/tex]

Това е така, защото вземаме Иванчо и Марийка и ги поставяме в едното множество – да кажем това, което е 11 елементно. Остава да съобразим по колко начина от останалите 24 ученици можем да изберем 9, за да запълним бройката. След това поставяме Иванчо и Марийка в класа с 15 ученика и с аналогични разсъждения намираме броя начини от останалите 24 да изберем 13.
И така стигаме до горната сума. И тази сума, отнесена към общия брой безусловни начини да бъдат съставени две групи от 11 и 15 учника, който е ${26 \choose 11}$, ще ни отведе до същия верен отговор.
Най-хубавото на задачите, които предлага inveidar е, че те често загатват за някое красиво обобщение, което може да се направи. А пък представеният горе подход може да ни помогне за това. Да разгледаме следната постановка:

Даденo e множество N с $n$ елемента, които са разделени в $k$ на брой групи {$L_1, L_2, … , L_k$}, всяка със съответен брой елементи $l_1, l_2, … , l_k$. Търсим вероятността дадено подмножество D на N, с $d$ елемента цялото да попадне в една от групите. Имаме $k≤n$, $d≤n$ и $l_1 + l_2 + …+ l_k = n$.

По подобие на частния случай горе, ще трябва да намерим броя варианти, за които $(D∈ L_1) \cup (D∈ L_2) \cup ... \cup (D∈ L_k) $ и ще ги отнесем към общия брой безусловни начини да разделим множеството $N$ на $k$ групи със съответен брой елементи $l_1, l_2, … , l_k$. Нека започнем първо с безусловната част. Без ограничение можем да започнем да „пълним“ групите във възходящ ред на техните индекси. Трябва да съобразим, че след като запълним група $L_1$, за група $L_2$ ще ни останат $n-l_1$ елемента, за група $L_3$ ще ни останат $n-l_1-l_2$ елемента и т.н. И така, търсеният брой е:

$ B= {n \choose l_1}{n-l_1 \choose l_2}{n-l_1-l_2 \choose l_3}...{n-l_1-l_2-...-l_{k-1} \choose l_k} =$

$ = \frac{n!}{l_1!. \cancel{(n-l_1)!} } \frac{ \cancel{(n-l_1)!} }{l_2!. \cancel{(n-l_1-l_2)!} } \frac{ \cancel{(n-l_1-l_2)!} }{l_3!. \cancel{(n-l_1-l_2-l_3)!} } ... \frac{ \cancel{(n-l_1-l_2-...-l_{k-1})!} }{l_k!. 0! } = \frac{n!}{l_1!l_2!...l_k!}$

Нека сега да опитаме да намерим броя начини, при които ${D∈ L_1}$. Първо да отбележим, че за $d>l_1$ този брой очевидно е 0 и затова ще разглеждаме по интересния случай $d≤l_1$. Както вече разсъждавахме, ще ни е небходим броя начини да запълним бройката на множеството $L_1$ с някои от останалите $n-d$ елемента, но този път ще трябва да умножим с броя на вариантите за всички останали групи. И така, броят начини за ${D∈ L_1}$ е :

$ {n-d \choose l_1-d} {n-l_1 \choose l_2}{n-l_1-l_2 \choose l_3}...{n-l_1-l_2-...-l_{k-1} \choose l_k} = \frac{{n-d \choose l_1-d}}{{n \choose l_1}} . B $

Нека се опитаме да развием:

$ = B . \frac{(n-d)!l_1!(n-l_1)!}{(l_1-d)!(n-l_1)!n!} = B. \frac{(n-d)!l_1!}{(l_1-d)!n!} | * \frac{d!}{d!} = B . \frac{{l_1 \choose d}}{{n \choose d}} $

И всъщност получаваме доста приятен резултат. За обединението $(D∈ L_1) \cup (D∈ L_2) \cup ... \cup (D∈ L_k) $ трябва да съберем всички аналогични такива резултати, при което получаваме:

$ B . \frac{{l_1 \choose d}+{l_2 \choose d}+...+{l_k \choose d}}{{n \choose d}} $ (***)

А за търсената вероятност остава:

$ \frac{{l_1 \choose d}+{l_2 \choose d}+...+{l_k \choose d}}{{n \choose d}} $

Дано не съм сбъркал някъде в съображенията, но непосредствената проверка с оригиналното условие на задачата потвърждава така изведената формула.

P.S.(***) Правим уточнението, че за $d>l_i$ приемаме ${l_i \choose d} = 0$, т.е. няма варианти множеството $D$ да е изцяло в групата $L_i$. Всъщност, разширеното понятие за биномен коефициент ни дава това основание без да се смущаваме.

[drago]

Тази също е стандартна и рутинна. На запад даже учениците, които имат проблем с математиката, нямат проблем с подобни задачи. Дори имат готови рецепти как се решават унагледени с дърво.

Най-вероятно учебния материал там много набляга на вероятности за сметка на други неща. Наблюденията ми са за US - там вероятностния подход много се котира и постоянно търсят да го прилагат в олимпиадните задачи. Някой път това даже дразни, поне мен, но признавам, че има случаи, в които много улеснява нещата. Като тази задача например. От друга страна руската школа сякаш рядко го използва, така е тръгнало от едно време.
Единствения вероятностен подход тук е твоя. Другото използва само дефиницията за вероятност и после чиста комбинаторика.