Ирационално уравнение

[S.B.]

Да се реши уравнението:
$$\sqrt{1 - x^{2}} = 4x^{3} - 3x$$

Скрит текст: покажи

Както разбрах ,решавайки ирационалното уравнение предложено от Евва на кандидат студентите,аз неволно съм ги ощетила,ето защо ,като компенсация за стореното от мен,аз им предлагам друго ирационално уравнение ,не по-малко достойно от това,което беше представено

[KOPMOPAH]

Изкушението е огромно, макар че отдавна съм излязъл от възрастта на кандидат-студентите

Скрит текст: покажи

Полагам $x=\cos \alpha$ и уравнението става $$\sin \alpha=\cos 3\alpha$$ Нататък е ясно

[S.B.]

Скрит текст: покажи

Вече и KOPMOPAH дължи на кандидат студентите едно достойно ирационално уравнение!

[KOPMOPAH]

Скрит текст: покажи

Вече и KOPMOPAH дължи на кандидат студентите едно достойно ирационално уравнение!

Щом е така, ето две:$$\sqrt{x-2-3\sqrt{x-4}}=5-\sqrt{x+3+7\sqrt{x-4}}$$ $$\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{15+x}=2$$Първото е за загрявка, без особена фантазия, но второто ...

[Евва]

За второто ирац.уравнение получих,че няма решение .
Да търся ли грешка в решението си ?

[Davids]

За второто ирац.уравнение получих,че няма решение .
Да търся ли грешка в решението си ?

$x = 1$ е очевидно решение

[S.B.]

$$\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{15+x}=2$$Първото е за загрявка, без особена фантазия, но второто ...

Второто е страхотно изкушение!Действа ми като плодова пита или еклерова торта в сладкарница "Н....."!
(Да не ни глобят за реклама на сладкарницата!)

[tex]\sqrt[4]{1 -x} + \sqrt[4]{15 +x} = 2[/tex]
Полагам $1 - x = u^{4} \Rightarrow x = 1 - u^{4} , 15 + x = v^{4} \Rightarrow x = v^{4} - 15, u\ge 0,v \ge 0$
Образувам следната система:
[tex]\begin{array}{|l} u + v = 2 \\ 1 - u^{4} = v^{4} - 15 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} u + v = 2\\ u^{4} + v^{4} = 16\end{array}[/tex]
Преработвам :
$u^{4} + v^{4} = (u^{2})^{2} + (v^{2})^{2} = (u^{2} + v^{2})^{2} - 2.u^{2}.v^{2} = [(u + v)^{2} - 2uv]^{2} - 2.u^{2}.v^{2} = $
$ = (u + v)^{4} - 4uv.(u + v)^{2} + 4u^{2}v^{2} - 2u^{2}v^{2} = (u + v)^{4} -4uv(u + v)^{2}+ 2u^{2}v^{2}$
Връщам се към системата:
[tex]\begin{array}{|l} u + v = 2 \\ (u + v)^{4} - 4uv(u + v)^{2} + 2u^{2}v^{2} = 16\end{array} \Leftrightarrow 2^{4} - 4uv.2^{2} + 2(uv)^{2} = 16 \Rightarrow 2(uv)^{2} - 16uv = 0[/tex]
Получи се :$ uv(uv - 8) = 0$ и сега системата се разпада на две системи :
[tex]\begin{array}{|l} u + v = 2 \\ uv = 0 \end{array}[/tex] и [tex]\begin{array}{|l} u + v = 2 \\ uv = 8 \end{array}[/tex]
Сега вече оставям на кандидат студентите да довършат задачата...
Не бива да се прекалява със сладките изкушения,защото

Скрит текст: покажи

Всички хубави работи са незаконни,неморални или от тях се пълнее

[Евва]

Полагам [tex]\sqrt[4]{1-х}[/tex]=u , [tex]\sqrt[4]{15+x}[/tex]=v

[tex]\begin{array}{|l} u+v=2 \\ u^{4} +v^{4}=16\end{array}[/tex] ...

[tex]\begin{array}{|l} u+v = 2 \\ uv=8 \end{array}[/tex]

Тази с-ма няма решение .

Пропуснала съм [tex]\begin{array}{|l} u+v=2 \\ uv = 0 \end{array}[/tex]

u=0 , v=2 [tex]\Rightarrow[/tex] x=1 или u=2 ,v=0 [tex]\Rightarrow[/tex] x=-15

Получавам отг.1 ; -15

[S.B.]

$$\sqrt{x-2-3\sqrt{x-4}}=5-\sqrt{x+3+7\sqrt{x-4}}$$

[tex]\sqrt{x - 2 - 3\sqrt{x - 4}} = 5 - \sqrt{x + 3 + 7\sqrt{x - 4}}[/tex]
Нека $ x - 4 = t^{2} \Rightarrow x = t^{2} + 4 ,x \ge 4$
След заместване и преработка се получава:

[tex]\sqrt{t^{2} - 3t + 2} = 5 - \sqrt{t^{2} + 7t + 7}[/tex]

Повдигам двете страни на квадрат преработвам и се получава:

[tex]10\sqrt{t^{2} + 7t + 7} = 10t + 30 \Leftrightarrow \sqrt{t^{2} + 7t + 7} = t + 3[/tex]

Отново повдигам на квадрат двете страни:

[tex]t^{2 } + 7t + 7 = t^{2} + 6t + 9 \Rightarrow t = 2[/tex]

Връщам субституцията:
$x = t^{2} + 4 = 4 + 4 = 8 > 4$
Проверка :
[tex]\sqrt{8 - 2 - 3\sqrt{8 - 4}} = \sqrt{6 - 6} = 0[/tex]
[tex]5 - \sqrt{8 + 3 + 7.2} = 5 - \sqrt{25} = 0[/tex]

Следователно решение е $x = 8$

[KOPMOPAH]

Публикувах уравнението $$\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{15+x}=2$$ за да илюстрирам, че понякога се използват две полагания. Решението на S.B. е достатъчно подробно, предполагам и Евва е имала предвид това, слагайки трите точки. Интересното и полезното в случая е понижаването на степента и свеждането до система, състояща се от сумата и произведението на $u$ и $v$.

[pal702004]

Също така е полезно да се знае, че ако за неотрицательни $u,v$ е изпълнено $u^4+v^4=(u+v)^4$, то една от двете променливи е $0$