Ирационално уравнение

[Евва]

Стопанска академия-Свищов 2 006 г.
Сърдечно моля ,който не е канидат-студент да изчака 1 ден ,а после да прати решението си .

[tex]\sqrt[3]{2+х}[/tex]+[tex]\sqrt{6-x}[/tex]=2

Отговор: 6; -3 ;-10

[Davids]

$\sqrt[3]{2+x} = 2 - \sqrt{6-x}$
ДС: $x \le 6$

Повдигаме на трета:
$x + 2 = 8 - 3.4\sqrt{6-x} + 3.2(6-x) - (6-x)\sqrt{6-x}$
$7(x - 6) = (x-18)\sqrt{6-x}$

Първи директен корен е $x_1 = 6$ и делим на $\sqrt{6-x}$:
$-7\sqrt{6-x} = x - 18$

Сега (а и по-рано трябваше, но набирам от телефона в колата) полагаме $t = \sqrt{6-x}$:
$-7t = -t^2 - 12$
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Решения са $t_1 = 3 \Rightarrow x_2 = -3$ и $t_2 = 4 \Rightarrow x_3 = -10$

[Евва]

Намерих задачата (по интернет) и разгледах решението .
Интересна ми стана,защото бе решена чрез полагане .

[irina_dp]

[tex]\sqrt{sin2x}[/tex] +[tex]\sqrt{cos2x}[/tex]=1

[Knowledge Greedy]

Полагаме [tex]\sqrt{cosx}=u[/tex] и [tex]\sqrt{sinx}=v[/tex]
Решаваме системата [tex]\begin{array}{|l} u^4 + v^4 = 1 \\ u + v = 1 \end{array}[/tex]
Заместваме от второто [tex]v=1-u[/tex]
в първото
и решаваме полученото
[tex]u^4-2u^3+3u^2-2u=0[/tex]
[tex]u_1=0[/tex]
[tex]u_2=1[/tex]
От разлагането [tex]u(u-1)(u^2-u+2)=0[/tex], третият множител е без реални корени.
Уравнението [tex]u_1=0[/tex] т.e. [tex]\sqrt{cosx}=0[/tex] дава корените [tex]\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]
Уравнението [tex]u_2=1[/tex] т.e. [tex]\sqrt{cosx}=1[/tex] дава корените [tex]2k\pi[/tex]
- съобразени с дефиниционната област.