Ту 2014

[gepeto1969]

Здравейте, 24 задача
Sin4x=sin2x
Sin4x-sin2x=0
2cos 4x+2x/2 * sin4x-2x/2=0
Cos3x*sinx=0

Cos3x=0
3x=П/2 +кп

Sinx=0
X=k*п

Не ми се получават отговорите.

IMG_20190503_133410.jpg (336.17 KiB) Прегледано 573 пъти

[Davids]

С този синтаксис нищо не ти се разбира от решението, но ми се струва и излишно сложно подходено (ако е вярно...) Уравнението е сравнително просто:
$sin4x = sin2x$
$2sin2xcos2x = sin2x$
$cos2x = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2x_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{6} + k\pi$
$\Rightarrow 2x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x_2 = -\frac{\pi}{6} + k\pi$

Единствено от тези решения, което попада в търсения интервал, е $x = \frac{11\pi}{6}$

[peyo]

[tex]\pi[/tex] и [tex]2\pi[/tex] също мисля са решения или аз нещо бъркам затворен интервал?

[Добромир Глухаров]

$sin4x=sin2x$

І начин: $sin4x-sin2x=0\Leftrightarrow2sin\frac{4x-2x}{2}cos\frac{4x+2x}{2}=0\Leftrightarrow sinxcos3x=0$

$x=k\pi\cup3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x=k\pi\cup x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}$

Корени.png (35.09 KiB) Прегледано 558 пъти

II начин: $2sin2xcos2x=sin2x\Leftrightarrow sin2x(1-2cos2x)=0\Leftrightarrow 2x=k\pi\cup2x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$

$x=\frac{k\pi}{2}\cup x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi$

Корени.png (35.09 KiB) Прегледано 558 пъти

В интервала $[\pi;2\pi]$ са $\pi;\frac{7\pi}{6};\frac{3\pi}{2};\frac{11\pi}{6};2\pi$ - пет корена.

[inveidar]

С този синтаксис нищо не ти се разбира от решението, но ми се струва и излишно сложно подходено (ако е вярно...) Уравнението е сравнително просто:
$sin4x = sin2x$
$2sin2xcos2x = sin2x$
$cos2x = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2x_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{6} + k\pi$
$\Rightarrow 2x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x_2 = -\frac{\pi}{6} + k\pi$

Единствено от тези решения, което попада в търсения интервал, е $x = \frac{11\pi}{6}$

$sin2x = 0$?!

[Davids]

Наистина, умът ми е бил някъде! Първо съм изтървал решения, второ съм пропуснал да проверя за деление на нула... Но така де, идеята е същата

[Knowledge Greedy]

Нека и аз да кажа нещо - как са си мислели авторите на тази задача, за това, как ще си мислят за решаването ѝ кандидатстудентите.
Разглеждаме [tex]4x[/tex] и [tex]2x[/tex] като стойности на аргумента [tex]t[/tex], на периодичната функция [tex]f(t)=sint[/tex], с най-малък положителен период [tex]T=2\pi[/tex].
Следователно
[tex]4x=2x+2k\pi[/tex]
или
[tex]4x=\pi-2x+2k\pi[/tex]
Трябва да открием онези стойности на целия параметър [tex]k[/tex], за които [tex]x[/tex] се намира в зададената област [tex][\pi ;2\pi ][/tex]
От първата група, решения са онези [tex]x=k\pi[/tex], за които [tex]k \in \{1;2 \}[/tex]
От втората група, решения са онези [tex]x=\frac{(2k+1)\pi}{6}[/tex], за които [tex]k \in \{3;4;5 \}[/tex]
- общо 5 на брой корени.