Геометрия за кандидат студентите

[S.B.]

В [tex]\triangle ABC,[/tex] ъглополовящите $AA_{1 } , (A_{1 }\in BC) $ и $BB_{1 } ,(B_{1 }\in AC)$ се пресичат в т.$I$ и около четриъгълника $CA_{1 }IB_{1 }$ може да се опише окръжност. Лицето на четриъгълника е $27\sqrt{3}$,а радиусът на описаната около него окръжност е $ 2\sqrt{7}$
Да се намерят дължините на страните на:
а) четриъгълника $CA_{1 }IB_{1 }$;
б)$\triangle ABC$

[Davids]

Triangle4.png (38.78 KiB) Прегледано 478 пъти

а) Веднага забелязваме, че $\angle AIB = 90 + \frac{\gamma}{2} = \angle B_1IA_1 = 180^{\circ} - \gamma$
$\Rightarrow \gamma = 60^{\circ}$.
Освен това $CI$ е ъглополовяща на $\gamma$, така че $A_1I = B_1I = 2Rsin30^{\circ} = 2\sqrt{7}$ като хорди срещу равни дъги.
Две страни вече намерихме, по тях и $S_{B_1A_1I} = \frac{4.7.\sqrt{3}}{4} = 7\sqrt{3}$.
Тогава $S_{A_1B_1C} = 20\sqrt{3} = \frac{A_1C.B_1C.\sqrt{3}}{4} \Rightarrow A_1C.B_1C = 80$.
За по-кратко ще означим $xy = 80$.
За да намерим и сбора на останалите две страни, ще ползваме хероновата формула за същото лице.
За целта обаче намираме $A_1B_1 = 2Rsin60^{\circ} = 2\sqrt{21}$.
Вече имаме $p = \frac{x + y}{2} + \sqrt{21}$.
Тогава $S = 20\sqrt{3} = \sqrt{(\frac{x + y}{2} + \sqrt{21})(\frac{x + y}{2} - \sqrt{21})(\frac{x - y}{2} + \sqrt{21})(\frac{y - x}{2} + \sqrt{21})} = \sqrt{(\frac{(x + y)^2}{4} - 21)(21 - \frac{(x-y)^2}{4})} = \sqrt{(\frac{(x + y)^2}{4} - 21)(21 - \frac{(x+y)^2 - 4xy}{4})} = \sqrt{(\frac{(x + y)^2}{4} - 21)(21 - \frac{(x+y)^2}{4} + 80)}$

За улеснение полагам $t = \frac{(x + y)^2}{4}$ и уравнението придобива вида:
$20\sqrt{3} = \sqrt{(t - 21)(101 - t)}$

Повдигаме на втора и решаваме:
$t^2 - 122t + 3321 = 0$

Решения са $t_1 = 41$ и $t_2 = 81$. За първата стойност не съществуват решения на системата, а за втората получаваме $x = 10; y = 8$ (или обратно). В крайна сметка страните на четириъгълника са $\boxed{8; 2\sqrt{7}; 2\sqrt{7}; 10}$

б) за улеснение ще означим $BA_1 = a; AB_1 = b, AB = c$.

От свойство на ъглополовящата имаме:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{a}{8} = \frac{c}{b + 10} \\ \frac{b}{10} = \frac{c}{a + 8} \end{array}[/tex]

и от една косинусова теорема изразяваме $c^2 = (a + 8)^2 + (b + 10)^2 - 2(a + 8)(b + 10)cos60^{\circ} = (a + 8)^2 + (b + 10)^2 - (a + 8)(b + 10)$

От горната система заместваме $a + 8 = \frac{10c}{b}$ и $b + 10 = \frac{8c}{a}$, делим двете страни на $c^2$, освобождаваме от знаменател и достигаме до:
$a^2b^2 = 64b^2 + 100a^2 - 80ab$

От горната система можем също да изразим и $50a + ab - 32b = 0$

Образувахме финалната система:
$\begin{array}{|l} 50a + ab - 32b = 0 \\ a^2b^2 = 64b^2 + 100a^2 - 80ab \end{array}$

Решението е малко тегаво, но в крайна сметка достигаме до единствена двойка валидни решения: $a = 7; b = 14$. Лесно намираме $c = 21$

Така страните на $\triangle ABC$ са $\boxed{a = 7; b = 14; c = 21}$.

П.П. Предизвикателна задачка!