Функция

[S.B.]

Точките $A$ и $B$ от графиката на функцията [tex]f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}[/tex] са такива,че допирателните към графиката на $f(x)$ в тези точки са взаимно перпендикулярни.Ако т. $C$ е пресечната точка на двете допирателни,да се докаже,че:
а)точка $C$ лежи върху абцисната ос;
б)$S_{\triangle ABC } \ge 1$

[Davids]

$f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$
$f'(x) = x$

Нека вземем точка $A(x_0; y_0)$.
Допирателната в тази точка (ако не ме лъжат формулите в интернет... че и аз бях забравил как се намира) ще има вида:
$t_A: y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0 = x_0(x - x_0) + \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{1}{2} = x_0x - \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{1}{2}$

Аналогично $t_B: y = x_1x - \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}$

За да са перпендикулярни две прави, то произведението на ъгловите им коефициенти трябва да е равно на -1, т.е.:
$x_0x_1 = -1 \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{x_0}$

Значи $t_B: y = -\frac{1}{x_0}x - \frac{1}{2x_0^2} + \frac{1}{2}$

а) Абсцисата на пресечната точка ще намерим като приравним двете прави:
$x_0x - \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{x_0}x - \frac{1}{2x_0^2} + \frac{1}{2}$
$x(x_0 + \frac{1}{x_0}) = \frac{x_0^2}{2} - \frac{1}{2x_0^2}$
$x.\frac{\cancel{x_0^2 + 1}}{\cancel{x_0}} = \frac{x_0^4 - 1}{2x_0^2} = \frac{\cancel{(x_0^2 + 1)}(x_0^2 - 1)}{2x_0^{\cancel{2}}}$
$\Rightarrow x_C = \frac{x_0^2 - 1}{2x_0}$

Заместваме в коя да е от формулите на допирателните и очакваме да получим 0:
$t_A(x_C) = \cancel{x_0}(\frac{x_0^2 - 1}{2\cancel{x_0}}) - \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{1}{2} = 0$
с което доказахме, че $C$ лежи на абсцисата.