Сечения на многостен с равнина (КСИ, 2002г)

[eloquent90]

Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с дължина на ръба 3а. Нека M и N са точки върху АА1 и СС1 такива, че AM:A1M=CN:C1N=2:1. През точките B, M и N е построена равнина [tex]\beta[/tex]. Да се намери отношението на обемите на телата, на които равнината [tex]\beta[/tex] разделя куба.

[S.B.]

Сечение на куб с равнина

Без заглавие (73).png (312.65 KiB) Прегледано 876 пъти

Задачата е решавана:
viewtopic.php?f=85&t=22329

[irina_dp]

Основната на права призма е равнобедрен триъгълник ABC, в който АС=ВС=10cm и АВ=12cm. През АВ е прекара равнина р, сечението на която с призмата е равнобедрен триъгълник с ъгъл между бедрата равен на алфа. Намерете обема на призмата, ако р дели околната и повърхнина на части с лица, които се отнасят, както 1:5?

[S.B.]

Без заглавие (2).png (304.75 KiB) Прегледано 823 пъти

Основната на права призма е равнобедрен триъгълник ABC, в който АС=ВС=10cm и АВ=12cm. През АВ е прекара равнина р, сечението на която с призмата е равнобедрен триъгълник с ъгъл между бедрата равен на алфа. Намерете обема на призмата, ако р дели околната и повърхнина на части с лица, които се отнасят, както 1:5?

[tex]S_{ок } = P.h, S_{ок } = P.h_{1 } + P.h_{2 } ,[/tex] но $\frac{P.h_{1 }}{P.h_{2 }} = \frac{1}{5} \Rightarrow h_{1 } = \frac{1}{6}h , h_{2 } = \frac{5}{6}h$
Сечението на призмата с равнината е равнобедрения $\triangle BCM$ такъв ,че $\angle BMC = \alpha$ и т.$M \in AA_{1 }$
като $AM : MA_{1 } = 1 : 5 \Leftrightarrow AM = \frac{1}{6}h , MA_{1 } = \frac{5}{6}h$

От $\triangle ABN : AN = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$ ( по Питагор)
От $\triangle BMN : \frac{MN}{BN} = cotg\frac{\alpha}{2} \Rightarrow MN = 6.cotg\frac{\alpha}{2}$
От $\triangle ANM $ по Питагор $\Rightarrow AM^{2} = MN^{2} - AN^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{6}.h = \sqrt{36cotg^{2}\frac{\alpha}{2} - 64} \Rightarrow h = 6\sqrt{36.cotg^{2}\frac{\alpha}{2} - 64}$
$ V = S_{ABC }.h = \frac{12.8}{2}.6 \sqrt{36cotg^{2} - 64}$
$$V = 288\sqrt{36.cotg^{2}\frac{\alpha}{2} - 64}$$

[ptj]

Нещо не съм съгласен с решението.
Малката околна повърхнина се състои само от 2 триъгълника, а пълната от 3 правоъгълника.
[tex]S_1:S_2=1:5[/tex]
[tex]S_1:S=1:6[/tex]

[tex]\frac{AM}{2}(10+10):(AA_1.(10+10+12)=1:6[/tex]

[tex]AM:AA_1=32:60[/tex]

[tex]AM:MA_1=32:28[/tex]

и т.н.

П.П. Частите са за лица, а не за обеми.

[ptj]

Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с дължина на ръба 3а. Нека M и N са точки върху АА1 и СС1 такива, че AM:A1M=CN:C1N=2:1. През точките B, M и N е построена равнина [tex]\beta[/tex]. Да се намери отношението на обемите на телата, на които равнината [tex]\beta[/tex]
разделя куба.

С толкова хубав чертеж трябва да смяташ наум.

1.) Обема на куба е [tex]V=a^3[/tex].

2.) Обема на голямата пирамида е [tex]V_1=\frac{1}{3}a.\frac{(\frac{3a}{2})^2}{2}=\frac{3a^3}{8}=\frac{3}{8}V[/tex]

3.) Всяка от малките пирамидки е подобна на голямата с коефициент на подобие 1:3,
сл. обемите им са в съотношение [tex]V_2:V_1=1:27[/tex].

4.) )Обема на сечението на куба и голямата пирамида е [tex]\frac{25}{27}.\frac{3}{8}.V=\frac{25}{72}V[/tex],
т.е. равнината дели куба в съотношение [tex]47:25[/tex].

[S.B.]

Нещо не съм съгласен с решението.

Колегата ptj е прав и аз ще коригирам решението:
Околната повърхнина на призмата се раздела от пресичащата равнина на две части $S_{1 }$ и $S_{2 }$ такива,че [tex]\frac{S_{1 }}{S_{2 }} = \frac{1}{5}[/tex]
$S_{1 }$ включва повърхнината на $\triangle ABM $ и $\triangle ACM$
$S_{2 }$ включва повърннините на трапците $BB_{1 }A_{1 }M$ , $CC_{1 }A_{1 }M$ и правоъгълника $BCC_{1 }B_{1 }$
Нека $AA_{1 } = h,AM = h_{1 } \Rightarrow MA_{1 } = h - h_{1 }$
Определяне на $S_{1 }$:$\triangle ABM \cong ACM , S_{ABM } = \frac{10.h_{1 }}{2} = 5h_{1 } \Rightarrow S_{1 } = 10h_{1 }$
Определяне на $S_{2 }$: $S_{BB_{1 }A_{1 }M } = S_{CC{1 }A_{1 } M} = \frac{h - h_{1 } + h}{2}.10 = (2h - h_{1 }).5$; $S_{BCC_{1 }B_{1 } } = 12h$
$S_{2 } = 2.(2h - h_{1 }).5 + 12h = 32h - 10h_{1 }$
[tex]\frac{S_{1 }}{S_{2 }} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{10h_{1 }}{32h - 10h_{1 }}\Leftrightarrow 60h_{1 } = 32h \Rightarrow h_{1 } = \frac{8}{15}h[/tex]
От $\triangle ABN$ по Питагор $AN = 8$
От $\triangle BNM$ $ \Rightarrow MN = 6cotg\frac{\alpha}{2}$
От $\triangle AMN$ по Питагор $AM = h_{1 } = \sqrt{MN^{2} - AN^{2}} \Rightarrow \frac{8}{15}h = \sqrt{36cotg^{2}\frac{\alpha}{2} - 64} \Rightarrow h = \frac{15}{8}\sqrt{36cotg^{2} - 64}$
$V = S_{ABC }.h = \frac{12.8}{2}.\frac{15}{8}\sqrt{36ctg^{2}\frac{\alpha}{2} - 64}$
$$V = 90\sqrt{64cotg^{2}\frac{\alpha}{2} - 64}$$