Конкурс 1989г. Зад.3(Икономически вузове)

[S.B.]

Около окръжност с радиус $R$ е описан четриъгълник $ABCD$.Мерките на ъглите му са решения на уравнението:
$$sin^{2}x + sin^{2}2x = sin^{2}3x$$ и [tex]\angle DAB < \angle ABC < \angle BCD[/tex].
а) Намерете мерките на ъглите и дължините на страните на четриъгълника $ABCD$;
б) Правоъгълникът $MNPQ$ е вписан в четриъгълника $ABCD$ ,така,че върховете му $M$ и $N$ лежат на страната $AB$,а $P$ и $Q$ - съответно на страните $BC$ и $AD$.Намерете най - голямата стойност на лицето на този правоъгълник.

[Davids]

Решаваме:
$sin^23x - sin^2x = sin^22x$
$2sinxcos2x.2sin2xcosx = sin^22x$
$sin^22x.2cos2x = sin^22x$
$sin^22x(2cos2x - 1) = 0$
Решения са:
$sin2x = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{k\pi}{2}$
$cos2x = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow x_2 = \frac{\pi}{6} + k\pi$
$\Rightarrow x_3 = \frac{5\pi}{6} + k\pi$

Решения в интервала $(0^{\circ}; 180^{\circ})$ са съответно само ъглите от по $30, 90, 150$ градуса.

Значи $\angle BAD = 30^{\circ}$, $\angle ABC = 90^{\circ}$ и $\angle BCD = 150^{\circ}$. Остава $\angle CDA = 90^{\circ}$.

За да намерим страните ще приложим една умерена систематична хватка. Отбелязваме центъра на вписаната окръжност c $O$ и спускаме радиусите до всички точки на допиране. Това ще раздели периметъра на четириъгълника на четири двойки равни допирателни, които ще намерим по упоменатия метод - с косинусова теорема.

Ако означим ъгъл на четириъгълника с $\alpha$, a двете равни части от периметъра с $x$, то съответния централен ъгъл между двата перпендикулярни радиуса срещу този ъгъл ще е равен на $180 - \alpha$. По косинусова теорема за отсечката между допирните точки в двете посоки извеждаме зависимостта:
$x = R\sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{1 - cos\alpha}}$

Обикаляме по веднъж всеки ъгъл и намираме четирите стойности на частите: $R; R; R(2 - \sqrt{3}); R(2 + \sqrt{3})$. Остана да си ги групираме по двойки, за да получим страните: $AB = AD = R(3 + \sqrt{3})$ и $BC = CD = R(3 - \sqrt{3})$

А относно б) подточка, да приемам ли, че $N$ съвпада с $B$, при положение че ъгълът е 90 градуса? Или нещо съм оплескал

[S.B.]

Да, [tex]N \equiv B[/tex] ,но най добре направи чертеж !

[Davids]

Да, [tex]N \equiv B[/tex] ,но най добре направи чертеж !

Не бях на своя компютър, а що се отнася за първата част, ето чертежа относно това, за което говорех...

triangle2.png (15.91 KiB) Прегледано 422 пъти