Минимална стойност на хипотенуза

[christotaku]

Дадени са ни е в координатна система правите у=1 и у=-1, имаме точка А с координати (0,3) и точките Р (a,1) от правата у=1 и Q (b,-1) от правата у=-1. Имайки предвид, че [tex]\angle[/tex]PAQ е равен на 90° и че a<0<b трябва да намерим минималната стойност на хипотенузата PQ в триъгълника PAQ.

Използвайки алгебричното уравнение за разстояние между две точки в координатната система с координати съответно (x2, y2) и (x1, y1), което е следното d^{2} = (x2-x1)^{2} + (y2-y1)^{2} и където x2>x1 и y2>y1, както и чрез прилагане на питагоровата теорема стигам до PQ^{2} = a^{2} + b^{2} +20 но как да намеря минималната стойност на PQ???

[Sup3rlum]

Добре си започнал, но тука трябва да имаш впредвид две неща: Първо, питагоровата теорема няма как да знае, че двата катета са перпендикулярни, следователно минималната стойност ще бъде просто $2$ (когато ъгъла между тях е $0 ^\circ$). Второ, за да намериш минимума на една функция (в този случай глобалният минимум), ще трябва да намериш производната, и в коя точка тя е нула - т.е. наклона е нула.

Screenshot_8.png (20.4 KiB) Прегледано 492 пъти

За графиката е добре да се започне с факта че, двата катета са подвижни, и че трябва да намерим конструктивен начин да ги формулираме така, че винаги да си перпендикулярни. Знаем, че $AP$ и $AQ$ са прави линии минаващи през $(0,3)$ което означава, че можем да създаден две функции за прави линии които са взаимно перпендикулярни. За тази цел ще използвам $y-y_1=m(x-x_1)$.

Слагаме координатите ни $A$ и получаваме две прави линии:

$h: y=mx+3$
$g: y=-\frac{1}{m}x+3$

За едната линия знаем, че минава през $P(a,1)$, това означава, че можем да заместим $x, y$ в $h$:

$1=ma+3$
$ma=-2$

Аналогично имаме за $Q(b, -1)$

$-1=-\frac{b}{m}+3$
$\frac{b}{m}=4$
$m=\frac{b}{4}$

Сега можем да заместим $m$ от едното уравнение в другото, и ще получим отношение между $a$ и $b$ което ще гарантира, че $AQ$ и $AP$ ще са перпендикулярни.

$\frac{ba}{4}=-2$
$a=-\frac{8}{b}$

Двете точки придобиват вида:

$P(-\frac{8}{b}, 1), Q(b, -1)$

Вече можем да намерим разстоянието $PQ$:

$s=\sqrt{(P.x-Q.x)^2+(P.y-Q.y)^2}$

$s=\sqrt{(-\frac{8}{b}-b)^2+(1+1)^2}$
$s=\sqrt{\frac{64}{b^2}+20+b^2}$

Тук искаме да намерим за коя стойност на $b$ разстоянието $s$ е минимално, и след това да намерим това разстояние.

$s^2=\frac{64}{b^2}+20+b^2$
$2sds=\bigg(-\frac{128}{b^3}+2b\bigg)db$
$\frac{ds}{db}=\frac{\bigg(-\frac{128}{b^3}+2b\bigg)}{2s}$

Искаме да намерим за коя стойност на $b$ функцията е на минмум, следователно я приравняваме на нула:

$\frac{ds}{db}=0 \Rightarrow -\frac{128}{b^3}+2b=0$

$64=b^4$
$b=2\sqrt{2}$

И като се сложи обратно във формулата за разстояние $s=6$.

Ето и схема на Desmos:
https://www.desmos.com/calculator/bmvwue7iyo

Скрит текст: покажи

Прикачения файл Screenshot_9.png вече е недостъпен

[christotaku]

Благодаря много. Нещо не успях да схвана как по-точно получи двете уравнения с параметър m, но така или иначе чрез уравнението за права с две точки в триъгълника за всички страни също намерих, че ab=-8. Значи разковничето е било намиране на глобален минимум чрез производна, което ми е познато доооста бегло. Ако някой иска, може да мята подобни задачи насам. Благодаря!