Задача от УАСГ

[worstboy]

Основата ABCD на четириъгълна пирамида ABCDF е правоъгълник , а всички околни стени са равнолицеви триъгълници.Околният ръб AF има дължина корен 3, а двустенния ъгъл мъжду стените (ABF) и (ADF) има мярка 2п/3
а) да се докаже, че пирамида е правилна

Ще съм много благодарен ако някои представи решение

[ganka simeonova]

Би ли погледнал пак стените, чиито двустенен ъгъл е 2pi/3 ?

[worstboy]

(ABF) и (ADF) са

[ganka simeonova]

(ABF) и (BDF) са

Пак имаш разминаване с първия си пост

[worstboy]

много се извинявам. смятам, че вече може да се помисли върху задачата

[ganka simeonova]

Така, странното е, че аз не ползвах ъгъла от 120 градуса. Явно задачата има и още подусловия:)
Така. Нека F се проектира в О. Да разгледаме [tex]\Delta ADF;\Delta BCF[/tex]- равнолицеви=> височините [tex]FP=FQ=>OP=OQ[/tex] ( последното равенство е от теоремата за трите перпендикуляра)
Тогава т. О е на равни разстояния от AD и BC.
Аналогично от другата двойка с/улежащи триъгълници=> О е на равни разстояния от АВ и CD.
Тогава O е пресечна точка на диагоналите=>околните ръбове са равни.
Нека означим [tex]\angle AFB=\beta ; \angle BFC=\alpha[/tex]
[tex]S_{AFB}=\frac{1}{ 2} AF.FBsin\beta ; S_{BFC}=\frac{1}{2 } BF.CF.sin\alpha[/tex]
[tex]=>sin\alpha =sin\beta =>[/tex]
1)[tex]\beta =180^\circ- \alpha[/tex] или
2)[tex]\beta =\alpha[/tex]

1) [tex]\beta =180^\circ -\alpha[/tex]
Прилагаме кос. т-ми за [tex]\Delta AFB;\Delta BFC[/tex]
[tex]a^2=3+3+2.3.cos\alpha[/tex]
[tex]b^2=3+3-2.3.cos\alpha[/tex]
Събираме и получаваме [tex]a^2+b^2=12=>\sqrt{a^2+b^2} =2\sqrt{3} =>AC=2\sqrt{3}[/tex]
Но тогава в [tex]\Delta AFC[/tex] се нарушава н-то за страните в триъгълник, защото се получава, че [tex]CF+AF=AC[/tex]
Тогава остава 2) =>[tex]a=b[/tex] пирамидата е правилна:)

[worstboy]

да има и друго подусловие, но то ми е ясно
Благодаря много за решението