отношение в триъгълник

[Фати00]

В равнобедрения [tex]\triangle[/tex] ABC (AC=BC) са построени ъглополовящата AL (L [tex]\in[/tex] BC) и височината CH (H [tex]\in[/tex] AB). Aко BL:CL=1:2 и О е центърът на вписаната в [tex]\triangle[/tex] ABC окръжност, то отношението CO:OH е?

[S.B.]

Без заглавие (17).png (253.46 KiB) Прегледано 489 пъти

В равнобедрения [tex]\triangle[/tex] ABC (AC=BC) са построени ъглополовящата AL (L [tex]\in[/tex] BC) и височината CH (H [tex]\in[/tex] AB). Aко BL:CL=1:2 и О е центърът на вписаната в [tex]\triangle[/tex] ABC окръжност, то отношението CO:OH е?

[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен $\Rightarrow AH$ е и височина ,медиана и ъглополовяща.$AL \cap CH = O$ , т.$O$ е центърът на вписаната окръжност тъй като е пресечна точка на ъглополовящите.
Нека $AC = BC = b , AB = a \Rightarrow AH = BH = \frac{a}{2}$
По условие $\frac{BL}{CL} = \frac{1}{2}$ и според свойството на ъглополовящите $ \rightarrow \frac{BL}{CL} = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = x , b = 2x$

За $\triangle AHC , AO $ е ъглополовяща и от свойството на ъглополовящите $\rightarrow\displaystyle \frac{CO}{OH} = \displaystyle \frac{AC}{AH} = \frac{b}{\displaystyle\frac{a}{2}} = \displaystyle \frac{2b}{a} = \displaystyle\frac{4x}{x} = \frac{4}{1}$